ช่วยข้อนี้ผมหน่อยครับ

[LightLucifer]

กำหนดให้ $a,b,c$ จำนวนจริงที่แตกต่างกันทั้งหมด จงแสดงว่า
$$a\cdot \frac{(a+b)(a+c)}{(a-b)(a-c)}+b\cdot \frac{(b+c)(b+a)}{(b-c)(b-a)}+c\cdot \frac{(c+a)(c+b)}{(c-a)(c-b)}=a+b+c$$

[nooonuii]

ทำตรงๆเลยครับ แต่ถ้าไม่อยากให้ถึกมากลองให้

$q=ab+bc+ca$ แล้วสังเกตว่า

$(a+b)(a+c)=a^2+q$

อีกสองเทอมก็เป็นไปในทำนองเดียวกัน

สุดท้ายถ้าไม่คำนวณอะไรผิดจะมาจบที่

$a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)=(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

ซึ่งคิดว่าน่าจะไปต่อได้ ผมเริ่มไว้ให้นิดนึงละกัน

$LHS=a^3(c-a)+a^3(a-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)$

อีกวิธีคือใช้พหุนาม

กำหนดให้ $b,c$ เป็นค่าคงตัว และให้ $a=x$ เป็นตัวแปร

เอกลักษณ์จะเปลี่ยนเป็น

$(c-b)x(x+b)(x+c)+b(b+c)(x+b)(x-c)+c(b+c)(x+c)(b-x)=(c-b)(x+b+c)(x-b)(x-c)$

จะเห็นว่าทั้งสองข้างเป็นพหุนามกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็น $c-b$

ดังนั้นถ้าเราพิสูจน์ว่าพหุนามทั้งสองตัวมีรากเหมือนกันทุกตัวก็จบ

สังเกตว่าพหุนามฝั่งขวามีรากคือ $b,c,-b-c$

เราก็แค่พิสูจน์ว่าทั้งสามตัวนี้เป็นรากของพหุนามฝั่งซ้ายด้วยก็จบครับ

[LightLucifer]

ขอบคุณมากครับ ^^