|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Maximum and minimum value
1. Find the maximum value of the following integral
$\int_{0}^{\infty}\,e^{-x}sintxdx $ 2. Find the minimum value of $\int_{0}^{\pi }\,(asinx+bsin2x+csin3x-x)^2dx $ 3. Find the minimum value of $\int_{0}^{\pi }\,|cosx-a|sinxdx $ ถ้าเจอโจทย์แนว นี้ ควรทำอย่างไรดีอ้ะครับ ช่วยแนะนำหน่อยครับ
__________________
PURE MATH |
#2
|
||||
|
||||
$\displaystyle\int e^{-x}\sin tx\,dx=-\dfrac{e^{-x}(t\cos tx+\sin tx)}{1+t^2}+C$ $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\sin tx\,dx=\dfrac{t}{1+t^2}\le\dfrac{1}{2}$ $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx=\dfrac{1}{2}$ $\displaystyle\int_0^\pi(a\sin x+b\sin2x+c\sin3x-x)^2\,dx=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)\pi}{2}+\dfrac{\pi^3}{3}-2a\pi-\dfrac{2c\pi}{3}\ge\dfrac{\pi}{9}(3\pi^2-20)$ $\displaystyle\int_0^\pi(2\sin x+\dfrac{2}{3}\sin3x-x)^2\,dx=\dfrac{\pi}{9}(3\pi^2-20)$ $\displaystyle\int|\cos x-a|\sin x\,dx=-\dfrac{(\cos x-a)|\cos x-a|}{2}+C$ $\displaystyle\int_0^\pi|\cos x-a|\sin x\,dx=\dfrac{(1+a)|1+a|+(1-a)|1-a|}{2}\ge1$ $\displaystyle\int_0^\pi|\cos x|\sin x\,dx=1$ |
#3
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากนะครับ ที่ช่วยแสดงวิธีทำ แต่ผม ไม่เข้าใจเลยอ้ะครับ T T ไม่รู้จะเริ่มยังไงด้วย
__________________
PURE MATH |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 1. integrate ตรงๆ เลยครับ ลองใช้ by parts หรือลองเดาดูจากการคำนวณ $\frac{d}{dx} e^{-x}\sin(tx)$ กับ $\frac{d}{dx} e^{-x}\cos(tx)$
ข้อ 2. คงต้องให้คุณ Amanris มาอธิบายเพิ่มแล้วครับเพราะผมก็ไม่เข้าใจเหมือนกัน ส่วนตัวผมใช้ application ของ dominated convergence theorem ลองดู theorem 4.4.3 ใน link นี้ดูครับ http://www.maths.tcd.ie/~richardt/MA2224/MA2224-ch4.pdf condition จะค่อนข้างเยอะ แต่เรากำลัง integrate ฟังก์ชันต่อเนื่องบน bounded interval เลยทำให้ค่าไม่ลู่ออก(หรือที่ในนั้นเรียกว่า integrable) ดังนั้นถ้าเรานิยาม ให้ $f(x,a)$ เป็น integral ในข้อสองและ fix $b,c$ นิยาม $f(x,b),f(x,c)$ คล้ายๆกัน ทฤษฎีนี้บอกว่าเราสามารถหา $\frac{d}{da} f(x,a)$ ได้โดยการหาอนุพันธ์ข้างใน integral ได้เลย จากข้างบนทำให้เราสามารถหาคำตอบของสมการ $\frac{d}{da} f(x,a)=0,\frac{d}{db} f(x,b)=0,\frac{d}{dc} f(x,c)=0$ หาค่า $a,b,c$ ออกมาแล้วใส่กลับเขาไปแล้ว integrate เพื่อหาค่าต่ำสุด (ไม่มีค่าสูงสุดนะครับ ลองสังเกตว่าทำไม) integrate จะค่อนข้างยุ่งยากหน่อย ให้ใช้ $\int_0^{\pi} \sin(mx)\sin(nx) dx =0$ ทุกๆจำนวนเต็ม $m,n$ ที่ $m \neq n$ จะช่วยได้เยอะครับ เป็นวิธีที่ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่ต้องขออภัยด้วย 26 สิงหาคม 2013 05:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools |
#5
|
||||
|
||||
ข้อสอง ผมก็อินทิเกรตตรงๆนะครับ ไม่ได้ใช้อะไรซับซ้อนเลย เพียงแต่ว่าต้องอินทิเกรตตรีโกณแม่นๆหน่อย
แล้วก็ตัวอินทิกรัลไม่จำกัดเขตนี่ใหญ่มาก แต่เมื่อจำกัดช่วงแค่นั้น ทำให้พจน์อื่นๆหายไปเหลือแค่ที่เห็นนั่นละครับ |
#6
|
||||
|
||||
เข้าใจละครับ
แต่คิดว่าน่าจะตกเทอม $b\pi$ ไปนะครับ |
#7
|
||||
|
||||
มีเทคนิค complexifying integral มาแนะนำครับ แปลง cos,sin ให้อยู่ในรูป e แล้วไป integrate exponential แทน ถ้าไม่ใช้ by part
ดูตัวอย่างได้ที่ http://en.wikibooks.org/wiki/Calculu..._Complexifying http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=511534
__________________
I am _ _ _ _ locked 26 สิงหาคม 2013 07:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ t.B. |
#8
|
|||
|
|||
ขอบคุณทุกๆท่านมากๆ ครับ
__________________
PURE MATH |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
maximum | Amankris | อสมการ | 15 | 25 สิงหาคม 2012 17:37 |
ค่า Maximum | -InnoXenT- | Calculus and Analysis | 3 | 25 กรกฎาคม 2011 11:39 |
minimum | mercedesbenz | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 12 กุมภาพันธ์ 2008 23:33 |
minimum eigenvalue & concavity | sompong2479 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 5 | 22 กุมภาพันธ์ 2006 21:28 |
minimum value?????????? | Preety boy | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 7 | 20 พฤศจิกายน 2004 03:43 |
|
|