โจทย์ผลบวกอนุกรม...คิดไม่ออกจริงๆ

[กิตติ]

มีโจทย์มาถามจากพี่ที่ทำงาน ของลูกชายที่ไปสอบมา ผมหารูปแบบไม่ออกจริงๆ

ถ้า $\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{m+n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ แล้วจงหาค่าของ $m-n$

[cardinopolynomial]

ผมได้ยังงี้อ่ะครับ $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+......+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

=$\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+......+\frac{1}{99}+\frac{1}{100} $

m=51,n=49,m-n=2 มันมาจากอุปนัยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

มีโจทย์มาถามจากพี่ที่ทำงาน ของลูกชายที่ไปสอบมา ผมหารูปแบบไม่ออกจริงๆ

ถ้า $\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{m+n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ แล้วจงหาค่าของ $m-n$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100} = a$

$\frac{1}{1} + \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{99} = a + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{100} $

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{100} = a + 2 \left[\frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{100} \right]$

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{100} = a + \left[\frac{1}{1} + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{50} \right]$

$a = \frac{1}{51} + \frac{1}{52}+ \frac{1}{53} + ... + \frac{1}{100} $

$a = \frac{1}{51} + \frac{1}{51+1}+ \frac{1}{51+2} + ... + \frac{1}{51+49} $

$m - n = 51 - 49 = 2$

[กิตติ]

ขอบคุณครับลุงBanker....ผมก็กะว่าจะทำแบบเดียวกัน แต่มันตะหงิดๆใจว่าเราจะอนุโลมตามหนึ่งบรรทัดก่อนบรรทัดสุดท้ายอย่างที่ลุงทำได้ไหมครับ ผมไม่แน่ใจ แต่คำตอบที่ลุงได้มีในตัวเลือกของโจทย์ด้วยครับ

[lek2554]

คุณหมอมีทางเลือกแบบอื่นหรือครับ ผมยังนึกไม่ออก

[artty60]

แบบนี้ครับ
จาก$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$=1-(1-\frac{1}{2})+\frac{1}{3}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+...-(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})+...+\frac{1}{99}-(\frac{1}{50}-\frac{1}{100})$

$=1-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...-\frac{1}{49}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{50}+\frac{1}{100}$

$=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}$

ก็เหมือนกับของคุณอาbankerล่ะครับ วิธีของคุณอาเป็นวิธีตามหลักคณิตศาสตร์จริงๆ

[lek2554]

# น้อง artty60

ขอโทษครับที่ทำให้เข้าใจผิด

ผมหมายถึง คำพูดของคุณหมอกิตติ "แต่มันตะหงิดๆใจว่าเราจะอนุโลมตามหนึ่งบรรทัดก่อนบรรทัดสุดท้ายอย่างที่ลุงทำได้ไหมครับ ผมไม่แน่ใจ "

จึงถามว่า มีทางเลือกอื่นที่จะสรุปตามหนึ่งบรรทัดก่อนบรรทัดสุดท้ายหรือครับ ผมยังมองไม่ออก

[กิตติ]

พี่เล็กนึกทางอื่นไม่ออก ผมก็นึกไม่ออกเหมือนกันครับ คงจะว่าตามที่ลุงBankerเฉลยครับ
ขอบคุณทุกความเห็นครับ

[polsk133]

วิธีแบบนี้มีใน IMO สักปีเนี่ยแหละครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

วิธีแบบนี้มีใน IMO สักปีเนี่ยแหละครับ

ไม่ต้องถึง IMO หรอกฮะ ผมว่าแค่ มหิดล ก็มีแล้วครับ