คำถามเกี่ยวกับลิมิต

[Magic Math]

ให้ $f:R \to R$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f(x+y)=f(x)f(y)$ สำหรับทุก $x,y \in R$ จงพิสูจน์ว่า
ถ้า $f \ne 0$ และ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ หาค่าได้สำหรับบาง $a \in R$ แล้ว
$$\lim_{x \to 0} f(x)=1$$

พิสูจน์อย่างไรครับ ผมสามารถพิสูจน์ได้ว่า
1. $f(x)\geqslant 0$ สำหรับทุก $x \in R$
2. ถ้า $f \ne 0$ แล้ว $f(0) = 1$
3. ถ้า $f(a)=0$ สำหรับบาง $a \in R$ แล้ว $f(x)=0$ สำหรับทุก $x \in R$

ข้อสังเกต จาก hypothesis $f$ ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องที่ $0$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Magic Math

ให้ $f:R \to R$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f(x+y)=f(x)f(y)$ สำหรับทุก $x,y \in R$ จงพิสูจน์ว่า
ถ้า $f \ne 0$ และ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ หาค่าได้สำหรับบาง $a \in R$ แล้ว
$$\lim_{x \to 0} f(x)=1$$

พิสูจน์อย่างไรครับ ผมสามารถพิสูจน์ได้ว่า
1. $f(x)\geqslant 0$ สำหรับทุก $x \in R$
2. ถ้า $f \ne 0$ แล้ว $f(0) = 1$
3. ถ้า $f(a)=0$ สำหรับบาง $a \in R$ แล้ว $f(x)=0$ สำหรับทุก $x \in R$

ข้อสังเกต จาก hypothesis $f$ ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องที่ $0$

ผมว่าเงื่อนไขสีแดงบังคับให้ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องครับ

ลองใช้เงื่อนไขนี้พิสูจน์ว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $0$ สิครับ

[Suwiwat B]

คือ ผมได้ $f(x) = a^x$ อะครับ

ดังนั้นผมเลยพิสูจน์ได้ว่า $$\lim_{x \to \zero\} \a^x = 1\$$


เเบบนี้ได้ไหมครับ