uniform convergence problem

[M@gpie]

เช่นเดิมครับ รบกวนตรวจการพิสูจน์ของกระผมหน่อยแหะๆ
1. จงแสดงว่า $f_n(x) = \frac{nx}{nx+1} , \; x \geq 0 $ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนช่วง $[1, \infty)$ แต่ไม่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนช่วง $[0,\infty )$

สำหรับ $x\in [1, \infty )$ จะได้ว่า $ {\displaystyle \sup_{x \geq 1 } \mid \frac{nx}{nx+1} -1 \mid = \sup_{x \geq 1 } \mid \frac{1}{nx+1} \mid = \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 \; \; \text{as } \; \; n \rightarrow \infty }$
ดังนั้น $f_n(x) = \frac{nx}{nx+1} $ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนช่วง $[1, \infty)$

สำหรับ $x\in [0, \infty )$ ให้ $n_k = k, \; \; x_k = \frac{1}{k}$ จะได้ว่า
\[ \mid f_{n_k}(x_k) - 1 \mid = \frac{1}{2} \]
ดังนั้น $f_n(x) = \frac{nx}{nx+1} $ ไม่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนช่วง $[0,\infty )$


2. จงแสดงว่าลำดับของฟังก์ชัน $f_n(x) = x^2e^{-nx} $ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนช่วง $[0,\infty )$
พิจารณา $ \mid f_n(x) - f_m(x) \mid = x^2 \mid e^{-nx} - e^{-mx} \mid \rightarrow 0 $ as $n,m \rightarrow \infty $
ดังนั้น $f_n(x) = x^2e^{-nx} $ เป็นลำดับลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ

3. จงแสดงว่า $ {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \int_1^2 e^{-nx^2} dx = 0 }$
ให้ $ f_n(x) = e^{-nx^2}, \; \; 1 \leq x \leq 2$ จะได้ว่า ${\displaystyle \sup_{1 \leq x \leq 2} \mid e^{-nx^2} - 0 \mid = e^{-n} \rightarrow 0 } $ as $n \rightarrow \infty $
ดังนั้น $f_n(x) = e^{-nx^2}$ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนช่วง $[1,2]$
จึงได้ว่า \[ \lim_{n \rightarrow \infty } \int_1^2 e^{-nx^2} dx = \int_1^2 \lim_{n \rightarrow \infty } e^{-nx^2} dx = 0\]

[nooonuii]

ยังไม่ได้ดูละเอียด แต่คิดว่าไม่มี fatal error ครับ

[M@gpie]

อ่า ขอบพระคุณครับพี่ noonuii เช่นเคย ตอนนี้กำลังทบทวน เรื่อยๆน่ะครับ Lebesgue Integration นี่ยังไม่เข้าใจรายละเอียดดีครับ ต้องขอผลัดไปก่อน อิอิ ตอนนี้ขอ Analysis แบบ Basic ก่อน
เนื่องจากผมไม่มีเฉลยแบบฝึกหัดนะครับ ก็เลยต้องรบกวนพี่ๆ ตรวจเช็คให้ผมหน่อยครับ