cot

[rinso]

$$cot^{2}\alpha <\frac{1}{\alpha ^2}<cot^{2}\alpha+1$$

ทำไมอ่ะคะ

แต่รู้ว่า$$cot^{2}\alpha<cot^{2}\alpha+1$$ อยู่แล้ว

แต่ทำไม$$cot^{2}\alpha <\frac{1}{\alpha ^2}$$

ต้องน้อยกว่าด้วยคะ

หรือว่ามาจากนิยาม
ยังไงขอที่อ้างอิงด้วยนะคะ

ขอบคุณมากมากคะ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ rinso

$$cot^{2}\alpha <\frac{1}{\alpha ^2}<cot^{2}\alpha+1$$

ทำไมอ่ะคะ

ค่า $ \alpha$ อยู่ในช่วงไหนเหรอครับ ผมว่า อสมการนี้ไม่จริงเสมอไปกับทุกจำนวนจริง $ \alpha$ นะครับ

แต่ถ้าพิจารณาบน $ ( 0, \frac{\pi}{2}) $ ลองพิจารณา guide ข้างล่างครับ

GUIDE :

(1) สังเกตว่า $ 1+ \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

(2) จริงๆ อสมการข้างต้น สมมูลกับ $ \tan \theta > \theta > \sin \theta $ ซึ่งมีวิธีอธิบายได้ 2 แบบครับ

(i) พิจารณา concept ฟังก์ชันเพิ่ม/ลด สำหรับ $ f(x) = \tan x -x $ และ $ g(x) = \sin x-x$

(ii) วาดวงกลมรัศมี 1 หน่วย บนระนาบ XY แล้วลากรัศมีขึ้นมาเส้นนึงในจตุภาคที่ 1 ทำมุม $ \theta$ กับแกน X ด้านบวก
จากจุดปลายรัศมี ลากมาตั้งฉากกับแกน X ใช้พิสูจน์ $ \sin \theta < \theta$ (compare arc length กับ เส้นตั้งฉาก )
และถ้าลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ (1,0) แล้วต่อรัศมีไปชนเส้นสัมผัส ใช้พิสูจน์ $ \tan \theta > \theta$ ครับ (compare พื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากกับ sector)

[rinso]

อ๋อ
ใช่คะอยู่ในช่วง $$(0,\frac{\pi}{2} )$$ ค่ะ

ลืมบอก

ขอบคุณมากๆนะคะ