อุณหภูมิภาคพื้น

[นกกะเต็นปักหลัก]

ลูกโลกทรงกลมสามมิติ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(0,0,0)$ และมีรัศมี $20$ หน่วย ที่จุด $(x,y,z)$ ใดๆบนผิวโลกจะมีอุณหภูมิ $T(x,y,z):=(x+y)^2+(y-z)^2$ องศา อุณหภูมิเฉลี่ยของพื้นผิวลูกโลกนี้เป็นเท่าไร
งงมากครับเริ่มอย่างไรดีครับ

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

ลูกโลกทรงกลมสามมิติ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(0,0,0)$ และมีรัศมี $20$ หน่วย ที่จุด $(x,y,z)$ ใดๆบนผิวโลกจะมีอุณหภูมิ $T(x,y,z):=(x+y)^2+(y-z)^2$ องศา อุณหภูมิเฉลี่ยของพื้นผิวลูกโลกนี้เป็นเท่าไร
งงมากครับเริ่มอย่างไรดีครับ

$T(x,y,z)=x^2+2xy+2y^2-2yz+z^2$

$=(x^2+y^2+z^2)+2y(x-z)+y^2$

$=400+2y(x-z)+y^2$

แต่ค่าเฉลี่ยของ $2y(x-z)=0$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ $T(x,y,z)=400 + $ ค่าเฉลี่ยของ $y^2$

ค่าเฉลี่ยของ $y^2=\dfrac{400}{3}$ $($จาก $x^2+y^2+z^2=400$ และ $x^2,y^2,z^2$ มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน$)$

$\therefore$ ค่าเฉลี่ยของ $T(x,y,z)=\dfrac{1600}{3}$

ถูกหรือเปล่าครับ ผมไม่แน่ใจ

[นกกะเต็นปักหลัก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Sirius

แต่ค่าเฉลี่ยของ $2y(x-z)=0$

ทำไมเป็น0ครับ

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

ทำไมเป็น0ครับ

ค่าเฉลี่ยของ $xy=0$ เพราะว่าจับคู่ $x$ กับ $-x$ (ถูกหรือเปล่าครับ)

ในทำนองเดียวกันก็จะได้คี่าเฉลี่ยของ $yz=0$

[นกกะเต็นปักหลัก]

มีเพิ่มครับจงหา $T_{max}$ และ $T_{min}$

[นกกะเต็นปักหลัก]

และกำหนดอัตราการเจริญเติบโตของสิ่งมีชีวิตบนพื้นผิวใดๆเท่ากับ$R(x,y,z)=\left|\,12x+5y-7z+100\right|$
หาอัตราการเติบโตเฉลี่ยบนดาวดวงเดิม