โจทย์อนุกรม 2 ข้อ

[sahaete]

ข้อ 1 จงหาค่าของ $\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\left( {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{{2k\pi }}{{2013}}} \right)}$

ข้อ 2 ต้องบวกทั้งหมดกี่พจน์ จึงทำให้ $\qquad \dfrac{3}{{{1^2} \cdot {2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^2} \cdot {3^2}}} + \dfrac{7}{{{3^2} \cdot {4^2}}} + ... = \dfrac{{624}}{{625}}$

[polsk133]

1. ซิกมา i หรือ k ครับ
2. $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$

[sahaete]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

1. ซิกมา i หรือ k ครับ
2. $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$

ขอแก้เป็น k ครับ ขอบคุณครับ

[cardinopolynomial]

ข้อ 2. ตอบ 24 พจน์ครับ

จาก $\frac{3}{1^2*2^2}=\frac{3}{4}$

$\frac{3}{1^2*2^2}+\frac{5}{2^2*3^2}=\frac{8}{9}$

$\frac{3}{1^2*2^2}+\frac{5}{2^2*3^2}+\frac{7}{3^2*4^2}=\frac{15}{16}$

เราจะได้ว่าห่างกัน 5,7,9,11,.... ไปเรื่อยๆ

จาก 624=621+3

เเสดงว่า 5+7+9+...+x=621

$\frac{(x-3)(x+5)}{4}=621$

$x^2+2x-2499=0$

(x+51)(x-49)=0

x=49 เป็นผลต่างตัวสุดท้าย

จะได้ว่าผลต่าง 5,7,...,49 มีทั้งหมด 23 พจน์

เเต่เนื่องจากเเต่ต้องการจำนวนพจน์ที่บวกกันจึงมี 24 พจน์

ถ้าทำไม่เข้าใจก็ขออภัยด้วยน่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ข้อ 2 ต้องบวกทั้งหมดกี่พจน์ จึงทำให้ $\qquad \dfrac{3}{{{1^2} \cdot {2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^2} \cdot {3^2}}} + \dfrac{7}{{{3^2} \cdot {4^2}}} + ... = \dfrac{{624}}{{625}}$

$ \because \ \dfrac{3}{{{1^2} \cdot {2^2}}} = \dfrac{3}{1 \cdot 4} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4}$

$ \because \ \dfrac{5}{{{2^2} \cdot {3^2}}} = \dfrac{5}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9}$

$ \because \ \dfrac{7}{{{3^2} \cdot {4^2}}} = \dfrac{7}{9 \cdot 16} = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{16}$
.
.
.
$ \because \ \dfrac{45}{{{24^2} \cdot {25^2}}} = \dfrac{45}{576 \cdot 625} = \dfrac{1}{576} - \dfrac{1}{625}$

จะได้ว่า
$\qquad \dfrac{3}{{{1^2} \cdot {2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^2} \cdot {3^2}}} + \dfrac{7}{{{3^2} \cdot {4^2}}} + ...+ \dfrac{45}{{{24^2} \cdot {25^2}}}... = 1 - \dfrac{1}{625} = \dfrac{{624}}{{625}}$

ตอบ 24 พจน์

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ข้อ 1 จงหาค่าของ $\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\left( {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{{2k\pi }}{{2013}}} \right)}$

ให้ $\omega=\sin \dfrac{{2\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{2\pi }{2013}$

จะได้ว่า $(\omega^k)^{2013}=1$ ทุก $k=1,2,...,2013$

ดังนั้น $\omega,\omega^2,...,\omega^{2013}$ เป็นรากของพหุนาม $z^{2013}-1$

จากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนามจะได้

$\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{2013}=0$

[กิตติ]

ข้อ 1 จงหาค่าของ $\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\left( {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{{2k\pi }}{{2013}}} \right)}$


เวอร์ชั่นของผมน่าจะคล้ายๆของคุณNOOONUII ใช้ความรู้เรื่องของพิกัดเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน แต่ยาวและเยิ่นเย้อกว่าเยอะเลย

มาพิจารณา $\sin \frac{2\pi }{2013}+i\cos \frac{2\pi }{2013}$
$=\cos( \frac{\pi }{2} -\frac{2\pi }{2013})+i\sin(\frac{\pi }{2} - \frac{2\pi }{2013})$

ผมมองเป็นจำนวนเชิงซ้อนอีกสองจำนวนคือ
$i=\cos( \frac{\pi }{2})+i\sin(\frac{\pi }{2})$
กับ $1=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)$ ใช้เรื่องรากที่ 2013 จะได้ว่า
$1=\cos(\frac{2\pi+2m\pi }{2013})+i\sin(\frac{2\pi +2m\pi}{2013})$ เมื่อ $m\in \left\{\,0,1,2,...,2012\right\} $ เป็นคำตอบของสมการ $x^{2013}=1$
ให้ $m=0$ จะได้ว่า $1=\cos(\frac{2\pi}{2013})+i\sin(\frac{2\pi}{2013})$
จากเรื่องการหารของจำนวนเชิงซ้อนจะได้ว่า
$i=\cos( \frac{\pi }{2} -\frac{2\pi}{2013})+i\sin(\frac{\pi }{2} - \frac{2\pi}{2013})$

โจทย์ถาม $\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\left( {\sin \dfrac{{2k\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{{2k\pi }}{{2013}}} \right)}$
$=\qquad \quad \sum\limits_{k= 1}^{2012} {\cos (\frac{\pi }{2} -\frac{2\pi}{2013})k+ i\sin (\frac{\pi }{2} -\frac{2\pi}{2013})k}$

จากเรื่องการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนจะได้ว่า เท่ากับ $i+i^2+i^3+...+i^{2011}+i^{2012}$
จาก $i+i^2+i^3+i^4=i+(-1)+(-i)+1=0$
ดังนั้นจะได้ว่า $i+i^2+i^3+...+i^{2011}+i^{2012}=0$

ไม่ได้ใช้เรื่องจำนวนเชิงซ้อนนานแล้ว ต้องไปขุดแบบเรียนคณิตศาสตร์ม.ปลายมาดู มึนๆเหมือนกัน

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $\omega=\sin \dfrac{{2\pi }}{{2013}} + i\cos \dfrac{2\pi }{2013}$

จะได้ว่า $(\omega^k)^{2013}=1$ ทุก $k=1,2,...,1013$

ดังนั้น $\omega,\omega^2,...,\omega^{2013}$ เป็นรากของพหุนาม $z^{2013}-1$

จากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนามจะได้

$\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{2013}=0$

สวยงามมากครับ