ช่วยคิดเรื่องเวกเตอร์ในสามมิติหน่อย แคลคูลัส

[ERO-TIC]

จงตรวจสอบว่าจุด S(1,0,1), P(2,4,6), Q(3,-1,2) และ R(6,-1,2) อยู่บนระนาบเดียวกันหรือไม่

ครูเค้าบอกว่าตอบ 17 ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

แต่ไม่รู้วิธีคิดอ่ะ อยากรู้ว่าคิดยัไง

ช่วยคิดหน่อยครับคิดไม่ออกงง

[nongtum]

ผมไม่แน่ใจว่า 17 ที่ว่ามานี่คืออะไร
แต่การแสดงว่าสี่จุดไม่อยู่บนระนบเดียวกัน หมายความเหมือนกันกับการแสดงว่า หนึ่งในสี่จุดใดๆเป็นผลรวมเชิงเส้นของสามจุดที่เหลือ เมื่อมองแต่ละจุดเป็นเวกเตอร์ที่เริ่มจากจุดกำเนิดครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ERO-TIC

จงตรวจสอบว่าจุด S(1,0,1), P(2,4,6), Q(3,-1,2) และ R(6,-1,2) อยู่บนระนาบเดียวกันหรือไม่

ครูเค้าบอกว่าตอบ 17 ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

แต่ไม่รู้วิธีคิดอ่ะ อยากรู้ว่าคิดยัไง

ช่วยคิดหน่อยครับคิดไม่ออกงง

สมการระนาบอยู่ในรูป $ax+by+cz=d$

ถ้าทั้งสี่จุดอยู่บนระนาบเดียวกันจะต้องมีหนึ่งใน $a,b,c,d$ ที่ไม่เป็นศูนย์

แต่จากการแทนค่าทั้งสี่จุดลงในสมการแล้วแก้ระบบสมการหาค่า $a,b,c,d$

จะำพบว่า $a=b=c=d=0$ ดังนั้นทั้งสี่จุดไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

[Anarist]

วิธีอีกแบบคือ พิจารณา vector SP, SQ, SR ครับ
ถ้ามัน span ได้ parallelepiped ที่ปริมาตรไม่เป็น 0 ก็จะแปลว่ามันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน
สูตรหาปริมาตรเป็นสูตร determinant ของ 3x3 matrix

ผมคำนวณออกมาได้ 27 (ไม่ตรงกับ 17) แต่แนวความคิดน่าจะประมาณนี้