รบกวนช่วยพิสูจน์และยกตัวอย่างเรื่องกรุปให้หน่อยค่ะ (มาอีกแล้ว)

[khlongez]

1.จงยกตัวอย่าง กรุปจำกัด $G$ ที่มี $H$ และ $K$ เป็นกรุปย่อยของ $G$ แต่ $HK$ ไม่เป็นกรุปย่อยของ $G$
เมื่อ $HK = \{h*k | h \in H , k \in K\}$

2.กำหนดให้ $G$ เป็นกรุป , $H$ และ $K$ เป็นกรุปย่อยจำกัดของ $G$ จงแสดงว่า $|HK| = \frac{|H||K|}{|H\cap K|} $

3.กำหนดให้ $G$ เป็นกรุปจำกัด และ $H$ เป็นกรุปย่อยของ $G$ โดยที่ $[G:H] = 2$ จงพิสูจน์ว่า $aH = Ha$ ทุก $a \in G$
พร้อมทั้งยกตัวอย่างกรุปย่อย $H$ ที่ $aH = Ha$ แต่ $[G:H] \not= 2$
$(aH คือโคเซตทางซ้ายของ H ใน G , Ha คือโคเซตทางขวาของ H ใน G)$

--------------------------------------------------------------

เราพยายามทำมาตั้งแต่เย็นแล้วแต่ทำไม่ได้จริงๆค่ะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

1.จงยกตัวอย่าง กรุปจำกัด $G$ ที่มี $H$ และ $K$ เป็นกรุปย่อยของ $G$ แต่ $HK$ ไม่เป็นกรุปย่อยของ $G$
เมื่อ $HK = \{h*k | h \in H , k \in K\}$

จะยกตัวอย่างได้ก็ต้องรู้ทฤษฎีเยอะเหมือนกันครับ

key idea อยู่ที่ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า $H$ หรือ $K$ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น normal subgroup ของ $G$ แล้ว $HK\leq G$

ดังนั้นจะหาตัวอย่างค้านก็ต้องเลี่ยงกรณีนี้ให้ได้

หากลองมองหาจาก group ที่มีขนาดเล็ก จะพบว่า group ที่มีขนาด $1,2,3,4,5,7$ เป็น abelian group ทั้งหมด

ซึ่ง abelian group จะมี subgroup เป็น normal subgroup หมดเลย (ทำไม ? ลองพิสูจน์ดู)

ดังนั้นตัวอย่างที่เราอยากได้จะต้องมาจาก non-abelian group ที่มีขนาด $6,8$ หรือมากกว่านั้น

non-anelian group ขนาด $6$ มีอยู่แบบเดียวคือ $S_3$

non-anelian group ขนาด $8$ มีอยู่สองแบบคือ Dihedral group, Quaternion group

ลองเล่นกับ subgroup ของสาม group ที่ผมยกตัวอย่างมาดูสิครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

2.กำหนดให้ $G$ เป็นกรุป , $H$ และ $K$ เป็นกรุปย่อยจำกัดของ $G$ จงแสดงว่า $|HK| = \frac{|H||K|}{|H\cap K|} $

ข้อนี้มีอยู่ในหนังสือครับ รวมทั้งคำตอบข้อ 1 ด้วย

ลองเปิด Abstract Algebra ของ Dummit and Foote หน้า $93$ ครับ

แต่ถ้าไม่มีเล่มนี้ เล่มอื่นก็น่าจะมีครับ

idea : $HK=\bigcup_{h\in H}hK$

ลองพิสูจน์ว่า coset $hK$ ที่แตกต่างกันมีได้ทั้งหมด $\dfrac{|H|}{|H\cap K|}$

โดยพิสูจน์ว่า $h_1K=h_2K$ ก็ต่อเมื่อ $h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

3.กำหนดให้ $G$ เป็นกรุปจำกัด และ $H$ เป็นกรุปย่อยของ $G$ โดยที่ $[G:H] = 2$ จงพิสูจน์ว่า $aH = Ha$ ทุก $a \in G$
พร้อมทั้งยกตัวอย่างกรุปย่อย $H$ ที่ $aH = Ha$ แต่ $[G:H] \not= 2$
$(aH คือโคเซตทางซ้ายของ H ใน G , Ha คือโคเซตทางขวาของ H ใน G)$

สมมติ $G=H\cup gH$ และ $G=H\cup Hh$ จากสมบัตินี้จะได้ทันทีว่า $gH=Hh$

ให้ $a\in G$

$\bullet$ ถ้า $a\in H$ จบ

$\bullet$ ถ้า $a\not\in H$ จะได้ข้อสรุปอะไร?

ใช้สมบัติของ coset ครับ

ตัวอย่างหาได้ทั่วไปใน abelian group

[khlongez]

ต้องขอบคุณ nooonuii มากนะคะ ที่มาช่วยตอบให้ทุกครั้งเลย

[kongp]

หนังสือเคมีเล่มใหม่ๆ พักหลังมี Space Filling Model ตอนแรกผมก็งงว่าใส่รูปแบบนี้ไว้ในหนังสือทำไม หลังจากทำความเข้าใจอยู่นาน พบว่าถูกแล้วในธรรมชาติมีแบบนั้นจริงๆ

การเขียนทางคณิตศาสตร์ ก็เช่นกัน น่าจะมีวิวัฒนาการในการสื่อสารกับผู้ศึกษาให้ดีขึ้น ตามหลักวิทยษสาสตร์นะครับ