|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ถามโจทย์ทฤษฎีจำนวน เกี่ยวกับการหารลงตัว
ผมคิดว่าน่าจะตอบ 120 แต่พิสูจน์ยังไงช่วยแนะหน่อยครับ
|
#2
|
||||
|
||||
พิจารณา $\dbinom{n+4}{5}$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
$\dbinom{n+4}{5}=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!}$ ส่วนการแสดงต่อว่าเป็นค่ามากที่สุดลองคิดดูครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#3
|
|||
|
|||
จะได้ว่า a|n , a|n+1, a|n+2, a|n+3, a|n+4 จะพบว่า a|1,2,3,4 ลงตัว ซึ่ง ห.ร.ม. ของ a คือ 1 เพราะฉะนั้น ค่ามากสุดของ n คือ 1
จะได้ว่า 1x2x3x4x5=120
__________________
TYGA,T.I.,MGK |
#4
|
||||
|
||||
a|n , a|n+1, a|n+2, a|n+3, a|n+4 ไม่จำเป็นที่ a|1,2,3,4 รึเปล่าครับ
ยังงงอยู่ |
#5
|
||||
|
||||
แล้ววิธีของคุณ FranceZii Siriseth ใช่เรื่องคอมบิเนชั่นไมครับ แล้วทำไมถึงรู้ว่าจำนวนในวงเล็บเป็นจำนวนเต็มครับ
|
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จากวิธีของคุณ FranceZii Siriseth $\binom{n+4}{5}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!} $ จะได้ว่า n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) หารด้วย 5! ซึ่งเท่ากับ 120 ลงตัว พิสูจน์ว่า 120 เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด เนื่องจากต้องนำไปหาร n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ลงตัว สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ n=1 ซึ่ง n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=120 ดังนั้น ไม่มีจำนวนที่มากกว่า 120 ที่นำไปหาร n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ลงตัว ตอบ 120 26 เมษายน 2015 20:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ pont494 |
#7
|
|||
|
|||
โทษนะครับ แล้ววิธีผมนี่ใช้ได้หรือเปล่าครับ
__________________
TYGA,T.I.,MGK |
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับคุณ
pont494 และคุณFranceZii Siriseth เข้าใจแล้วครับ |
#9
|
|||
|
|||
ถ้าคิดว่าใช้ได้ลองอธิบายเหตุผลหน่อยมั้ยครับว่าทำไมแต่ละขั้นตอนที่เขียนมาถึงใช้ได้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
|||
|
|||
จากการที่ 120 หาร ${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ ลงตัว
จะพิสูจน์ว่า 1. ${8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ 2. ${3|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ 3. ${5|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ กรณีที่ 1 กรณีที่ 1.1 เมื่อ n เป็นเลขคู่ ให้ n = 2a โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มบวก แทนค่า n ด้วย 2a ในสมการ จะได้ว่า ${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ ${= 2a(2a+1)(2a+2)(2a+3)(2a+4)}$ ${= 8a(2a+1)(a+1)(2a+3)(a+2)}$ ${\therefore 8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ กรณีที่ 1.2 เมื่อ n เป็นเลขคี่ ให้ n = 2b+1 โดยที่ b เป็นจำนวนเต็มบวก แทนค่า n ด้วย 2b+1 ในสมการ จะได้ว่า ${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ ${= 2b+1(2b+2)(2b+3)(2b+4)(2b+5)}$ ${= 4(2b+1)(b+1)(2b+3)(b+2)(2b+5)}$ เนื่องจาก ${2b+1, 2b+3, 2b+5}$ เป็นเลขคี่ จะได้ว่า ${2|(b+1)(b+2)}$ จะพิสูจน์ว่า ${2|(b+1)(b+2)}$ กรณี 1.2.1 เมื่อ b เป็นเลขคู่ ให้ b = 2c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็มบวก แทนค่า b ด้วย 2c ลงในสมการ จะได้ว่้า ${(b+1)(b+2)}$ ${= (2c+1)(2c+2)}$ ${= 2(2c+1)(c+1)}$ ${\therefore 2|(b+1)(b+2)}$ กรณี 1.2.2 เมื่อ b เป็นเลขคี่ ให้ b = 2d+1 โดยที่ d เป็นจำนวนเต็มบวก แทนค่า b ด้วย 2d+1 ลงในสมการ จะได้ว่้า ${(b+1)(b+2)}$ ${= (2d+2)(2d+3)}$ ${= 2(d+1)(2d+3)}$ ${\therefore 2|(b+1)(b+2)}$ ${\therefore 8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ พอได้ไหมครับ ผมมาถูกทางรึเปล่า เดี๋ยวผมจะมาต่ออีกสองข้อ กับพิสูจน์ว่า หารจำนวนที่มากกว่า 120 ไม่ได้นะครับ ผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยครับ --ขอคารวะ--
__________________
คณิตศาสตร์ = สิ่งมหัศจรรย์ |
#11
|
||||
|
||||
ลองพิจารณาจำนวนที่ใหญ่กว่า 120 ดูก็ได้ครับ
สมมติว่ามี $p \ge 7$ ที่ทำให้ $ p \mid (n)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \forall n$ เราลองแทน $n=8$ จะได้ว่าจำนวนต่อไปที่จะทำให $p$ หารลงตัวคือ $2p$ ซึ่งจะอยู่ห่างจาก $p$ มากกว่า $5$ แน่นอนครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 27 เมษายน 2015 18:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#12
|
||||
|
||||
แทน n=1 ได้ ก้อนนั้นคือ 120 ดังนั้น 120มากสุดแล้วครับ
|
|
|