ผลบวกของรากสมการกำลังสาม แก้ไม่ได้ครับ ดูเหมือนง่ายแต่ยาก

[ครูนะ]

กำหนดให้ a < b < c เป็นรากของสมการ $x^{3} - 3x + 1 = 0$

จงหาค่าของ a/b + b/c + c/a


นั่งคิดมาหลายชั่วโมงแล้ว จัดรูป ผลบวกรากกับผลคูณรากไม่ได้ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

กำหนดให้ a < b < c เป็นรากของสมการ $x^{3} - 3x + 1 = 0$

จงหาค่าของ a/b + b/c + c/a


นั่งคิดมาหลายชั่วโมงแล้ว จัดรูป ผลบวกรากกับผลคูณรากไม่ได้ครับ

ลองดูนะครับ จาก $a+b+c=0 $ $$3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a+b}{b}+\frac{b+c}{c}+\frac{c+a}{a}=-\Big(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\Big)...(*)$$
เเละ ความจริงที่ว่า $$3+\Big(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\Big)^2+2\Big(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\Big)=\Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+ \frac{c}{a}\Big)^2...(**)$$
เเล้วนำ $(*)$ มาเเทนใน $(**)$ ก็จะได้ว่า $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=-\frac{3}{2}$

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเละ ความจริงที่ว่า $$3+\Big(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\Big)^2+2\Big(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\Big)=\Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+ \frac{c}{a}\Big)^2...(**)$$

งงบรรทัดนี้ครับว่ามายังไง

และนำเงื่อนไข $a<b<c$ มาใช้ตอนไหนครับ

[Real Matrik]

$k_1=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
$k_2=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$
$$k_1+k_2=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}=-3$$
$$k_1k_2=3+[\frac{c^2}{ab}+\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}]+[\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}]$$
$$=3+\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3}{(abc)^2}$$
$$=3+3+(ab+bc+ca)^3-3(ab+bc+ca)(abc)(a+b+c)+3(abc)^2=-18$$

นั่นคือ $k_1=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=-6,3$

แต่สังเกตว่า $abc=-1$ จะได้ว่าใน $a,b,c$ มีค่าลบสามค่า หรือ ค่าลบหนึ่งค่า ค่าบวกสองค่า
และจาก $a+b+c=0$ ทำให้ได้ว่าเป็นกรณีหลััง (บวก 2 ลบ 1)
เพราะฉะนั้น $a<0,b>0,c>0$ ทำให้ $\frac{a}{b}<0,\frac{b}{c}<1,\frac{c}{a}<0\rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}<1$

ดังนั้น $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=-6$

[กิตติ]

ข้่อนี้เป็นข้อสอบ TUGMO 2554
ผมทำแบบนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$a+b+c=0$
$ab+bc+ac=-3$
$abc=-1$
จะได้ว่า $a^3+b^3+c^3=-3$ และ $a^2+b^2+c^2=6$
$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=0$
$a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2=3$
$abc\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+abc \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)=3 $
$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)=-3 $...........(1)

$ab+bc+ac=abc\left(\,\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right)=-3 $
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}=3$
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} +\frac{1}{ca})$
$9=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}+2(\frac{(a+b+c)}{abc})$
$9=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}$

$\left(\,a^2+b^2+c^2\right) \left(\,\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}\right) =54$
$\left(\,\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2} +\frac{c^2}{a^2} \right)+ \left(\,\frac{a^2}{c^2} +\frac{b^2}{a^2} +\frac{c^2}{b^2} \right)=51 $

ยกกำลังสองสมการ(1)
$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)^2+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)^2+2\left(\,\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right) \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)\right) =9$
$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)^2=\left(\,\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2} +\frac{c^2}{a^2} \right)+ 2\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)$
$\left(\,\frac{a^2}{c^2} +\frac{b^2}{a^2} +\frac{c^2}{b^2} \right)=\left(\,\frac{a^2}{c^2} +\frac{b^2}{a^2} +\frac{c^2}{b^2} \right)+2\left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)$

$\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)^2+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)^2=51-6=45$

$45+2\left(\,\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right) \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)\right) =9$

ให้$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}=S$
$\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b}=-(3+S)$

$45-2S(S+3)=9$
$S^2+3S-18=0$
$(S+6)(S-3)=0$
$S=-6,3$

$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}$ มีสองค่าคือ $3,-6$

แก้ไขคำตอบ

คำตอบเหลือแค่ $-6$ เพราะจาก $abc=-1$ และ $\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)=-3$ ทำให้ได้ว่า $a<b<c$ จะเป็นค่าบวก 2 ค่าและ ลบ 1 ค่า ถ้าเป็นค่าลบทั้ง 3 ค่าจะทำให้ $\left(\,\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} \right)+ \left(\,\frac{a}{c} +\frac{b}{a} +\frac{c}{b} \right)>0$

ดังนั้นจะได้ว่า$a<0$ และ $c>b>0$
ให้ $\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}=M$
$(\frac{a}{b}-1)+(\frac{b}{c}-1)+(\frac{c}{a}-1)=M-3$
$(\frac{a-b}{b})+(\frac{b-c}{c})+(\frac{c-a}{a})=M-3$

$\frac{a-b}{b}<0,\frac{b-c}{c}<0,\frac{c-a}{a}<0$
ดังนั้น $M-3<0 \rightarrow M<3$
เหลือค่าที่ใช้ได้คือ $-6$

[Real Matrik]

แก้ไขแล้วครับ อ่านข้อความ $a<b<c$ เป็น $a,b,c$

[ครูนะ]

ขอบคุณครับ เป็นข้อสอบคัดเด็กของเตรียมอุดม

แต่ละข้อยากจริงๆ ครับ