โค้งสุดท้าย เพชรยอดมงกุฎ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ช่วยตรวจให้หน่อยครับ
$1.$ Prove $x^6+2\geqslant x^4+2x$ ทุกจำนวนจริง$x$

proof:$\Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+2x^3+2x^2+2x+2)\geqslant0 $

2.Prove that $x^8-x^5+x^2-x+1>0$ ทุกจำนวนจริง$x$

Proof: case1. $x$ เป็นจำนวนจริงบวก
$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x^6-x^5+1)-2x$
โดยAM-GM $ (x^2+x+1)(x^6-x^5+1)-2x\geqslant 3x(x^6-x^5+1)-2x$
และโดยAM-GM $x^6+x^6+x^6+1\geqslant x^6+x^6+x^3+x^3\geqslant 3x^5+x^3$
ทำให้ $3x(x^6-x^5+1)-2x \geqslant x(x^3)=x^4\geqslant 0$
case2. $x$ เป็นจำนวนจริงลบ
จากการสังเกต ทุกพจน์จะเป็นบวก ดังนั้น $x^8-x^5+x^2-x+1>0$

[Amankris]

ข้อแรก ทำเสร็จยังครับ

ข้อสอง อสมการสำเร็จรูปส่วนมากจะมีเงื่อนไขด้วยครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ผมคิดแบบลวกๆก็ กรณีที่เป็นลบคงง่ายอยู่แล้วนะครับ

$x^2\left(\,\dfrac{x^9+1}{x^3+1}\right)+1-x >0 ;\ \ \ \ 0\leq x\leq1$

$x^5(x^3-1)+\left(\,\dfrac{x^3+1}{x+1}\right)>0 ; \ \ \ \ \ 1<x $

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ผมคิดแบบลวกๆก็ กรณีที่เป็นลบคงง่ายอยู่แล้วนะครับ

$x^2\left(\,\dfrac{x^9+1}{x^3+1}\right)+1-x >0 ;\ \ \ \ 0\leq x\leq1$

$x^5(x^3-1)+\left(\,\dfrac{x^3+1}{x+1}\right)>0 ; \ \ \ \ \ 1<x $

Nice Solution
อีกข้อนะคับ
กำหนด $x^5-x^3+x=a$
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. $x^6\geqslant 2a+1$
2.$x^6\geqslant 2a$
3.$x^6\geqslant 2a-1$
4.$x^6\geqslant 2a-2$

คือข้อนี้ตอบข้อ3.ครับ แต่ว่าผมอยากได้วิธีที่obviously (สังเกตแล้วได้คำตอบแบบไม่ต้องไปboundค่า)

[Amankris]

Solution

ถ้าอยากใช้ AM-GM ต้องทำแบบนี้

No_1

$x^6+2=\left(\dfrac{|x|^6+|x|^6+1}{3}\right)+2\cdot\left(\dfrac{|x|^6+1+1+1+1+1}{6}\right)\ge|x|^4+2|x|\ge x^4+2x$

No_2

$x^8+x^2+1>\dfrac{|x|^8+|x|^2}{2}+\dfrac{|x|^2+1}{2}\ge|x|^5+|x|\ge x^5+x$

No_3

$2a=\dfrac{2x}{x^2+1}(x^6+1)\le x^6+1$