โจทย์ตรรกศาสตร์

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

กำหนดเหตุให้ดังนี้
1.เอกภพสัมพัทธ์ไม่เป็นเซตว่าง
2. for all x[ p(x)->q(x)]
3. for all x [q(x) v r(x)]
4. for some x [not r(x)]
ข้อความต่อไปนี้เป็นผลที่ทำให้การอ้างเหตุผล สมเหตุสมผล
1. for some x[p(x)]
2. for some x [q(x)]
3. for all x [p(x)]
4. for all x [q(x)]
ขอแบบละเอียด

[nooonuii]

ข้อสรุป 3 กับ 4 ไม่จริงครับ

ให้ เอกภพสัมภัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

$P(x) : x^2>0$
$Q(x):x^2>0$
$R(x): (x-1)^2>0$

จะได้ว่า ทุกเหตุเป็นจริงแต่ข้อสรุปไม่เป็นจริงครับ

พิสูจน์สองข้อแรกเดี๋ยวตามมาครับ

[nooonuii]

พิสูจน์ ผลข้อ 2

จากเหตุข้อ 4 จะมี $a$ ซึ่งทำให้ $R(a)$ เป็นเท็จ
จากเหตุข้อ 3 จะได้ว่า $Q(a)$ เป็นจริง
ดังนั้น $\exists x[Q(x)]$ เป็นจริง

ต่อไปจะใช้ผลข้อ 2 ไปพิสูจน์ผลข้อ 1 ต่อ

สมมติว่า สำหรับทุก $x$ ในเอกภพสัมพัทธ์ $P(x)$ เป็นเท็จ
ดังนั้นจากข้างบนเราได้ $P(a)$ เป็นเท็จ
โดยเหตุข้อ 2 เราทราบว่า $P(a)\to Q(a)$ เป็นจริง
ดังนั้น $Q(a)$ เป็นเท็จ ซึ่งขัดแย้ง
เพราะฉะนั้นที่สมมติไว้ไม่จริง
นั่นคือ $\exists x [P(x)]$ เป็นจริง

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

[quote=nooonuii;21637]ข้อสรุป 3 กับ 4 ไม่จริงครับ

ให้ เอกภพสัมภัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

$P(x) : x^2>0$
$Q(x):x^2>0$
$R(x): (x-1)^2>0$

จะได้ว่า ทุกเหตุเป็นจริงแต่ข้อสรุปไม่เป็นจริงครับ

พิสูจน์สองข้อแรกเดี๋ยวตามมาครับ[/QUOT

อ่านแล้วไม่เข้าใจ ขอพิสูจน์ เป็นแบบสมการได้ไหม หรือ อธิบายเพิ่มเติมด้วยครับ
thank you

[nooonuii]

ให้ เอกภพสัมภัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

$P(x) : x^2>0$
$Q(x):x^2>0$
$R(x): (x-1)^2>0$

1. เอกภพสัมพัทธ์ไม่เป็นเซตว่าง
2. $\forall x[P(x)\to Q(x)]$ เป็นจริงเพราะว่า $P(x)=Q(x)$ ทุกค่า $x$
3. $\forall x[Q(x)\vee R(x)]$ เป็นจริงทุก $x$ เพราะว่าถ้า $x\neq 0$ ,$Q(x)$ เป็นจริง ถ้า $x=0$, $R(0)$ เป็นจริง
4. $\exists x [\sim R(x)]$ เป็นจริง เพราะเราสามารถเลือก $a=1$ ซึ่งทำให้ $R(a)$ เป็นเท็จ
ดังนั้นเหตุทุกข้อเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์

แต่ข้อสรุปที่ 3 และ 4 ไม่เป็นจริง ซึ่งเห็นได้ชัดจากนิยามของ $P(x)$ และ $Q(x)$

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

P(x):x2>0
Q(x):x2>0
R(x)xÀ1)2>0
มันมาจากไหน อธิบายด้วยครับ

[nooonuii]

ผมกำลังพิสูจน์ว่าข้อสรุปที่ 3 กับ 4 ไม่จริงครับ ผมจึงสร้างตัวอย่างขึ้นมาชุดนึงซึ่งทำให้เหตุทุกข้อเป็นจริง แต่ข้อสรุปไม่เป็นจริง