โจทย์ยากในเน็ตครับ มาช่วยกันทำเถอะครับ

[warutT]

Problem 1
Prove that among any 39 consecutive natural numbers
it is always possible to find one whose sum of digits
is divisible by 11.

Problem 2
Sets of 4 positive numbers are made out of each other according
to the following rule: (a, b, c, d) (ab, bc, cd, da).
Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will
never appear again, except when a = b = c = d = 1.

Problem 3
Take a series of the numbers 1 and (-1) with a length
of 2k (k is natural). The next set is made by multiplying
each number by the next one; the last is multiplied by the
first. Prove that eventually the set will contain only ones.


Problem 4
What is the largest x for which
427 + 41000 + 4x
equals the square of a whole number?

Problem 5
Prove that for any prime number p > 2 the numerator m of the fraction

is divisible by p.

[warutT]

มีอีกครับ

Problem 6
How many digits are there in 21000?

Problem 7
Prove that the square of any prime number larger than 3 leaves a
remainder of 1 when divided by 12.

Problem 8
Consider the set a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, a6 = 119,
an+1 = a1a2...an - 1 for n 5. Prove that
(a1)2 + (a2)2 +...+ (a70)2 = a1a2...a70.

Problem 9
The numbers a, b and c are positive, and abc = 1. Prove that


Problem 10
Prove that for any a N greater than 2 there are
infinitely many numbers n N, such that the number
an - 1
is divisible by n. Is the same true for a = 2?

[Art_ninja]

โจทย์บางข้อไม่สมบูรณ์ครับ กรุณาพิมพ์ให้ครบด้วยครับ
ป.ล.พิมพ์ LaTeX บ้างก็ดีนะครับ

[JanFS]

ข้อหนึ่ง, สมมติมี จำนวนนับ $39$ ตัวเรียงกันที่ไม่มีตัวใดเลยมีผลบวกเลขโดดเป็นพหุคูณของ $11$
เห็นได้ชัดว่ามีการเปลี่ยนหลักร้อยแน่นอน (คือต้องมีสองตัวที่หลักร้อยต่างกัน อันเนื่องมาจาก ถ้าไม่มีการเปลี่ยนจะไล่ครบ CRS mod 11)
ให้มี $x$ จำนวนซึ่งจำนวนเหล่านี้มีค่าน้อยกว่า $39-x$ จำนวนที่เหลือ
และในบรรดา $x$(กลุ่มน้อย) และ $39-x$(กลุ่มมาก) จำนวนนี้มีเลขหลักร้อยเหมือนกันในกลุ่มของมันเอง

กรณีที่หลักร้อยเพิ่มขึ้นหนึ่งจากกลุ่มน้อยไปกลุ่มมาก จะได้ว่าจำนวนที่น้อยที่สุดในกลุ่มมาก จะได้เป็น $.......00$
จึงเห็นได้ว่า $39-x \leq 19$ (เพราะถ้ามากกว่า 19 ผลบวกเลขโดดจำนวนในกลุ่มมากจะครบ CRS mod 11 จึงเกิดข้อขัดแย้ง)
ดังนั้น $x \geq 20$ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งเนื่องจาก จะไล่ครบ $....99$ , $....98$ , ... , $....80$ ก็จะครบ CRS mod 11 เหมือนกัน เกิดข้อขัดแย้ง

กรณีที่หลักร้อยลดลงหนึ่ง (คือเปลี่ยนหลักพัน) ก็จะเกิดข้อขัดแย้งในทำนองเดียวกัน

ดังนั้นในบรรดา $39$ จำนวน จะต้องมีอย่างน้อย $1$ จำนวนที่ผลบวกเลขโดดหารด้วย $11$ ลงตัว

[JanFS]

แน่นอนสิครับ ยิ่ง $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ด้วย
แทบจะเห็นได้ชัดเลยว่าต้อง สอดคล้อง $a=b=c=d=1$

[Anonymous314]

See here:
http://www.geocities.com/CapeCanaver...e_Numbers.html