Number Theory By Hojoolee ^^

[จูกัดเหลียง]

คืออยากทราบวิธีอ่ะครับ ( หินได้อีก =[]=" )
1.Prove that $$5\not| \sum_{k=0}^n \binom{2n+1} {2k+1}2^{3k}$$
For all integer $n\ge 0$
2.Let p be a prime such that $p\ge 3$ and $n=[\frac{2p}{3}]$
Prove that $$p^2|\sum_{k=1}^n \binom p k$$
3.Show that $$1994|(10^{900}-2^{1000})$$
4.let n be positive integer with $n\ge 3$
Show that $$1989|(n^{n^{{n}^{n}}}-n^{n^{n}})$$

[LightLucifer]

มีเฉลยใน mathlink ครับ

http://www.artofproblemsolving.com/F...orum.php?f=456

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

3.Show that $$1994|(10^{900}-2^{1000})$$

อันนี้มันฟลุ๊คมากอ่ะครับ เราแึค่ต้องพิสูจน์ว่า $997|10^{900}-2^{1000}$

ซึ่ง $997| 10^9-2^{10}$ ตรงนี้ต้องกระจายแล้วล่ะครับ แล้วบังเอิญมันได้พอดี

$\therefore 1994|(10^{900}-2^{1000})$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

4.let n be positive integer with $n\ge 3$
Show that $$1989|(n^{n^{{n}^{n}}}-n^{n^{n}})$$

4. คิดได้แต่วิธีถึกๆ
1989 = 9 x 13 x 17

แสดงการแยกตัวประกอบ
$$n^{n^{{n}^{n}}}-n^{n^{n}} = n^{n^n}(n^{n^n(n^{n^n-n}-1)}-1) = n^{n^n}(n^{n^n(n^{n^{n(n^{n-1}-1)}}-1)}-1)$$

$9|(n^{n^{{n}^{n}}}-n^{n^{n}})$ คิดง่ายอยู่
แทน $n \equiv k \pmod{3} $ เมื่อ $ k = 0, 1, 2$

๐

ถ้า $k = 0$ จะได้ $$3|n \bigwedge n>3 \Rightarrow 9|n^{n^n} \Rightarrow 9|n^{n^n}(n^{n^n(n^{n^n-n}-1)}-1) \Rightarrow 9|(n^{n^{{n}^{n}}}-n^{n^{n}})$$

1

ถ้า $k = 1$ สามารถพิสูจน์ได้ว่า $$n^{n^n(n^{n^n-n}-1)} \equiv 1^{n^n(n^{n^n-n}-1)} \equiv 1 \pmod{9} $$
$$ \Rightarrow 9|(n^{n^n(n^{n^n-n}-1)}-1) \Rightarrow 9|n^{n^n}(n^{n^n(n^{n^n-n}-1)}-1) \Rightarrow 9|(n^{n^{{n}^{n}}}-n^{n^{n}})$$

2

ถ้า $k = 2$
ลองแทนค่า 2 หาร และไม่หาร n, 3 หารด้วย ดูจะได้
$$6|n^n(n^{n^n-n}-1) \Rightarrow n^n(n^{n^n-n}-1) = 6k, \exists k\in \mathbb{Z} $$
$$n^{n^n(n^{n^n-n}-1)} \equiv 2^{n^n(n^{n^n-n}-1)} \equiv 8^\frac{{n^n(n^{n^n-n}-1)}}{3} \equiv (-1)^\frac{{n^n(n^{n^n-n}-1)}}{3} \equiv ((-1)^2)^k \equiv 1^k\equiv 1 \pmod{9} $$
$$9|n^{n^n}(n^{n^n(n^{n^n-n}-1)}-1) \Rightarrow 9|(n^{n^{{n}^{n}}}-n^{n^{n}})$$

แต่ 13 กับ 17 หารลงตัวแสดงวิธีทำไม่น่าจะไหว แต่ใบ้(ไม่)นิดนึงครับ

mod 13
$2^{12} \equiv (2^6)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1$
$3^3 \equiv 1$
$4^6 = 2^{12}$
$5^4 = (5^2)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 $
$6^{12} \equiv ((6^2)^3)^2 \equiv ((-3)^3)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1$

mod 17
$2^8 = (2^4)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1$
$3^{16} = ((3^4)^2)^2 \equiv ((-4)^2)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1$
$4^4 = 2^8$
$5^{16} = (5^2)^8 \equiv (-9)^8 \equiv 3^{16} \equiv 1$
$6^{16} \equiv (6^2)^8 \equiv 2^8 \equiv 1$
$7^{16} = (7^2)^8 \equiv (-2)^8 \equiv 1$
$8^{24} = (2^8)^3 \equiv 1^3 \equiv 1$