โจทย์พหุนาม ช่วยคิดหน่อยครับ

[WSMT]

อ่านเจอในหนังสือเเล้วคิดไม่ออกครับ

$a = \sqrt{2} +1 , b = \sqrt{2} - 1 $ จงหาค่าของ

$\frac{a^3-3a^2-3a+1}{b^3-3b^2-3b+1} + \frac{b^3-3b^2-3b+1}{a^3-3a^2-3a+1}$

[banker]

$(a-1)^3 = a^3-3a^2+3a-1$

$(a-1)^3 -6a+2 = a^3-3a^2-3a+1$

$(\sqrt{2}+1 -1)^3 -6(\sqrt{2}+1)+2 = a^3-3a^2-3a+1$

$ -4(\sqrt{2}+1) = a^3-3a^2-3a+1$



$(b+1)^3 = b^3+3b^2+3b+1$

$(b+1)^3 -6b^2 -6b = b^3-3b^2-3b+1$

$(\sqrt{2} -1+1)^3 -6(\sqrt{2} -1)^2 -6(\sqrt{2} -1) = b^3-3b^2-3b+1$

$ 4(2\sqrt{2} -3) = b^3-3b^2-3b+1$




$\dfrac{a^3 - 3a^2 - 3a + 1}{b^3 - 3b^2 - 3b + 1} + \dfrac{b^3 - 3b^2 - 3b + 1}{a^3 - 3a^2 - 3a + 1} $

$ = \dfrac{ -4(\sqrt{2}+1)}{4(2\sqrt{2} -3)} + \dfrac{4(2\sqrt{2} -3)}{ -4(\sqrt{2}+1)}$

$ = \dfrac{\sqrt{2}+1}{3-2\sqrt{2} } + \dfrac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$

$ = 10\sqrt{2} $

[polsk133]

สังเกตว่า

$a=\dfrac{1}{b}$

[Euler-Fermat]

สังเกต $a = \sqrt{2} -1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}+1} = \dfrac{1}{b}$
ก้อนแรก
$:\dfrac{a^3 - 3a^2 - 3a + 1}{b^3 - 3b^2 - 3b + 1} = \dfrac{\dfrac{1}{b^3} -\dfrac{3}{b^2}-\dfrac{3}{b}+1}{b^3 - 3b^2 - 3b + 1} = \dfrac{1}{b^3} $



ก้อนหลัง : ในทำนองเดียวกัน จะได้ $b^3$

$\therefore \dfrac{b^3 - 3b^2 - 3b + 1}{a^3 - 3a^2 - 3a + 1}+\dfrac{a^3 - 3a^2 - 3a + 1}{b^3 - 3b^2 - 3b + 1}$

$ = \dfrac{1}{b^3} + b^3 = (b+\dfrac{1}{b})^3 - 3(b+\dfrac{1}{b})$

$=(a+b)^3 - 3(a+b) = 10\sqrt{2}$

[P'2A]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

สังเกตว่า

$a=\dfrac{1}{b}$

เป็นจริงแฮะไม่ทันได้สังเกตุเท่าไหร่