ช่วยแสดงวิธีคืดหน่อยครับ

[POSN_Psychoror]

ให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน
จงพิสูจน์ว่า $p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 (mod\ pq)$

ช่วยหน่อยนะครับ ขอบคุณมากครับ

[warutT]

เพราะว่า $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน
$\therefore q$ หาร $p$ ไม่ลงตัว และ $p$ หาร $q$ ไม่ลงตัว
จะได้
$From Fermat's Little Theorem$
$p^{q-1} \equiv 1 (mod q)$ และ $q^{p-1} \equiv 1 (mod p)$
จะได้ $q|p^{q-1}-1 และ p|q^{p-1}-1$
นั่นคือ $pq|(p^{q-1}-1)(q^{p-1}-1)$
$\therefore pq|pq^{(q-1)(p-1)}+1-(p^{q-1}+q^{p-1})$
แต่ $pq|pq^{(q-1)(p-1)}$
$\therefore pq|1-(p^{q-1}+q^{p-1})$
$\therefore p^{q-1}+q^{p-1} \equiv 1 (mod pq)$
ตามต้องการ

[POSN_Psychoror]

ขอบคุณมากๆเลยครับ ทำไมคิดไม่ออกแต่แรกเนี่ย T T