Probability Problem

[suan123]

1. Show that if $\Phi\left(\omega\right)=\mathbb{E}\left[e^{i\omega X}\right]$ then for any $\{a_{i}\}$

$$ \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}\Phi\left(\omega_{k}-\omega_{l}\right)a_{k}a_{l}^{*}\geq0, $$

where $\{a_{i}^{*}\}$ is the complex conjugate of $\{a_{i}\}$

2. Let $X_{1},\ldots,X_{n}$ be $n$ identcal, independent random variables with pdf $f_{X}(x)$ . Find the distribution of

$$ X^{*}=Max\left\{ X_{1},\ldots,X_{n}\right\} $$

รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

2. พิสูจน์ว่า

$\{\max\{X_1,...,X_n\}\leq t \}=\{X_1\leq t,X_2\leq t,...,X_n\leq t\}$

ก็จะหา distribution ได้

หรือไม่ก็ใช้สูตร order statistics เลยทีเดียวจบ

[suan123]

ช่วยอธิบายรายละเอียดให้อีกหน่อยได้มั๊ยคับ

[nooonuii]

ถ้าพิสูจน์ที่ผมแนะไว้ได้แล้วก็ใส่ $P$ เข้าไปทั้งสองข้าง ใช้สมบัติความเป็นอิสระต่อกันก็จะได้คำตอบครับ

[suan123]

Let $\mathbf{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}}$ be an identical, independent random variables with probability density function $f_{X}(x)$ . Define $\mathbf{X}^{*}=Max\{\mathbf{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}}\}$ whose distribution functions are obtained as follows:

$$ F_{\mathbf{X}^{*}}(x)=P(\mathbf{X_{1}\leq}x_{1},\mathbf{X_{2}\leq}x_{2},\ldots,\mathbf{X_{n}\leq}x_{n})=\prod_{k=1}^{n}P(\mathbf {X_{k}\leq}x)=\left(F(x)\right)^{n}. $$

In continuous case, we have the following expression for density :

$$ f_{\mathbf{X}^{*}}(x)=n\left(F(x)\right)^{n-1}f_{\mathbf{X}}(x). $$

เขียนยังงี้ใช้ได้ไหมครับผม แล้วพอมีคำแนะนำสำหรับข้อแรกไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

Let $\mathbf{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}}$ be an identical, independent random variables with probability density function $f_{X}(x)$ . Define $\mathbf{X}^{*}=Max\{\mathbf{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}}\}$ whose distribution functions are obtained as follows:

$$ F_{\mathbf{X}^{*}}(x)=P(\mathbf{X_{1}\leq}x_{1},\mathbf{X_{2}\leq}x_{2},\ldots,\mathbf{X_{n}\leq}x_{n})=\prod_{k=1}^{n}P(\mathbf {X_{k}\leq}x)=\left(F(x)\right)^{n}. $$

In continuous case, we have the following expression for density :

$$ f_{\mathbf{X}^{*}}(x)=n\left(F(x)\right)^{n-1}f_{\mathbf{X}}(x). $$

ได้ครับ แต่ $x_i$ ควรจะเป็น $x$ ทุกที่ครับเพราะตอนนี้เรามีตัวแปรเดียว

[nooonuii]

ข้อ $1$ ผมยังคิดไม่ออกครับ แต่ดูรูปแบบแล้วคล้ายๆกับสมบัติของ Hermitian matrix

ลองไปดูว่า พวก characteristic function มีสมบัตินี้หรือเปล่าครับ

[suan123]

$ x_i $ ตรงไหนครับที่ควรเปลี่ยนเป็น $x$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

$P(\mathbf{X_{1}\leq}x_{1},\mathbf{X_{2}\leq}x_{2},\ldots,\mathbf{X_{n}\leq}x_{n})$

ตรงนี้ครับ

[suan123]

ขอบคุณครับ เป็นความโง่เขลาของผมเอง

ช่วยแนะข้อนี่อีกสักนิดครับ มันดูเหมือนง่าย แต่ผมงงๆ ครับ

Show that if $X$ and $Y$ are two continuous random variables with pdfs $f_{X}(x)$ and $f_{Y}(y)$ repectively, then

$$ \mathbb{E}\left[log\, f_{X}(X)\right]\geq\mathbb{E}\left[log\, f_{Y}(X)\right]. $$

[nooonuii]

ไม่ได้พิมพ์โจทย์ตกหล่นตรงไหนใช่มั้ยครับ

[suan123]

ไม่ครับ แต่ผมว่าโจทย์มันแปลกๆครับ

[suan123]

ทำข้อนี้ได้แล้วครับ ขอบคุณครับ

รบกวนดูข้อนี้ให้หน่อยครับ

We say that the joint pdfs pf the two independent random variables $X$ and $Y$ is circularly symmetrical if it depends only the distance from the origin, that is if

$$f_{XY}(x,y)=g(r)$$

where $$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$$ For such X and Y , show that they are necessarily Gaussian with zero mean and equal variance.

[nooonuii]

ดูแล้วน่าจะหาจาก characteristic function นะครับ

[kongp]

ผมไม่เคยบอกนะว่า มีฝรั่งเคยทำเฉลยโจทย์ในทุกแนวเท่าที่มี ทั้งแปรโจทย์และคำตอบในลักษณะต่างๆ เกินมนุษย์ แต่ฝรั่งมองว่าง่าย เราเลยได้เรียนกัน อาจจะตามความจำเป็นของสังคม