รบกวนถามวิธีพิสูจน์ความแปรปรวนครับ

[Rainie]

$S^2$ = $\frac{N1S1^2 + N2S2^2 }{N1 + N2}$

รบกวนช่วยพิสูจน์ให้หน่อยนะครับ

[lek2554]

$S^2=\dfrac{\sum_{i = 1}^{N} X_i^2}{N} -\overline{X}^2\rightarrow \sum_{i = 1}^{N} X_i^2=N(S^2+\overline{X}^2)$

$\sum_{i = 1}^{N_1} X_1^2=N_1(S_1^2+\overline{X}_1^2)$

$\sum_{i = 1}^{N_2} X_2^2=N_2(S_2^2+\overline{X}_2^2)$

ถ้า $\overline{X}_1=\overline{X}_2$ แล้ว $\overline{X}_{รวม 2 กลุ่ม}=\overline{X}_1=\overline{X}_2$

สมมติให้ $\overline{X}_{รวม 2 กลุ่ม}=\overline{X}_1=\overline{X}_2=\overline{X}$

$\sum_{i = 1}^{N_1} X_1^2=N_1(S_1^2+\overline{X}_1^2)\rightarrow \sum_{i = 1}^{N_1} X_1^2=N_1(S_1^2+\overline{X}^2)$

$\sum_{i = 1}^{N_2} X_2^2=N_2(S_2^2+\overline{X}_2^2)\rightarrow \sum_{i = 1}^{N_2} X_2^2=N_2(S_2^2+\overline{X}^2)$

$S_{รวม 2 กลุ่ม}^2=\dfrac{\sum_{i = 1}^{N_1+N_2} X_{รวม 2 กลุ่ม}^2}{N_1+N_2} -\overline{X}_{รวม 2 กลุ่ม}^2$

$S_{รวม 2 กลุ่ม}^2=\dfrac{N_1(S_1^2+\overline{X}^2)+N_2(S_2^2+\overline{X}^2)}{N_1+N_2} -\overline{X}^2=\dfrac{N_1S_1^2+N_2S_2^2}{N_1+N_2}$