โจทย์ : รากของสมการ

[Scylla_Shadow]

1. ถ้า $\alpha ,\beta ,\gamma $ เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นคำตอบของสมการ $x^3+mx+n \ = \ 0$

แล้ว จงหารากของสมการ $\alpha x^2+\beta x+\gamma $

2. ถ้า $K$ เป็นรากของสมการ $ax^2+bx+c \ = \ 0$ จงหาสมการที่มีรากเป็น $\frac{1}{K}$

3. ถ้าสมการ $x^4+ax^3+12x^2+11x+5$ และ $x^4+(a-1)x^3+12x^2+11x+6$ มีรากซ้ำกัน 2 ค่าแล้ว

จงหาค่าของ $a^2+1$

4. ถ้าสมการ $x^2+mx+n$ และ $x^2+nx+m$ มีรากซ้ำกันและ $n\not= m$ แล้ว จงหาค่าของ m+n+1

5. ถ้า $x+\frac{1}{x}$ และ $y+\frac{1}{y}$ เป็นรากของสมการ $2x^2+9x+10 \ = \ 0 $ จงหาค่าของ xy

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 4. นะครับ พอดี มีเวลาน้อยครับ
ไม่ทราบว่าได้ m= 0 , n= -1 ไหมครับ

จะทำให้สมการมีคำตอบซ้ำกัน 1 คำตอบคือ x= 1
คำตอบของ m + n + 1 คือ 0 ครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อ 4. ถูกต้องแล้วครับ

วิธีตรง ให้ y แทนค่าที่ซ้ำกันจะได้

$y^2+my+n \ = \ y^2+ny+m$ เพราะสมการมีรากเท่ากันเลยจับมาเท่ากันได้

$(m-n)y \ = \ m-n$ เพราะว่า m ไม่เท่ากับ n ดังนั้น

y = 1

แทนค่าในสมการไหนก็ได้ จะได้ $1+m+n = 0$

[Ne[S]zA]

ข้อ5)เพราะว่า$2x^2+9x+10=0$ แยกได้$(2x+5)(x+2)=0$ดังนั้น $x=\frac{-5}{2},-2$
เพราะฉะนั้นได้ $x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2}$ และ$y+\frac{1}{y}=-2$
แก้สมการได้ $x=-\frac{1}{2},-2$ และ $y={-1}$
$\therefore xy=\frac{1}{2},2$

[Ne[S]zA]

ข้อ2) เพราะว่า $k$ เป็นรากของสมการ $a^2+bx+c=0$
$\therefore k=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
ดังนั้น $\frac{1}{k}=-\frac{2a}{b\pm \sqrt{b^2-4ac}}$
ให้ $x$ แทน $\frac{1}{k}$
$\therefore $ ได้ $(x-\frac{2a}{b+ \sqrt{b^2-4ac}})(x-\frac{2a}{b- \sqrt{b^2-4ac}})=0$
$x^2-\frac{2ax}{b+ \sqrt{b^2-4ac}}-\frac{2ax}{b- \sqrt{b^2-4ac}}+\frac{4a^2}{(b+ \sqrt{b^2-4ac})(b- \sqrt{b^2-4ac})}=0$
$x^2-\frac{4abx}{4ac}+\frac{a}{c}=0$
$x^2-\frac{xb}{c}+\frac{a}{c}=0$
$cx^2-bx+a=0$
เพราะฉะนั้น $\frac{1}{k}$ เป็นรากของสมการ $cx^2-bx+a=0$

[Scylla_Shadow]

เพื่อเป็นแนวทางแก่ผู้อ่านคนอื่น ผมขอเสนอวิธีที่ง่ายกว่านะครับ

เพราะว่า K เป็นรากของสมการ $ax^2+bx+c \ = \ 0$

ดังนั้น $aK^2+bK+c \ = \ 0$ หารด้วย $K^2$ ทั้งสองข้าง

$a+\frac{b}{K}+\frac{c}{K^2} \ = \ 0$

ดังนั้นสมการที่มีรากเป็น $\frac{1}{K}$ คือ $cx^2+bx+a$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

1. ถ้า $\alpha ,\beta ,\gamma $ เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นคำตอบของสมการ $x^3+mx+n \ = \ 0$

แล้ว จงหารากของสมการ $\alpha x^2+\beta x+\gamma $

จาก$x^3+mx+n \ = \ 0$
$x^3+0x^2+mx+n \ = \ 0$ จะได้ $\alpha +\beta +\gamma =0$------(1) เก็บไว้ก่อน

จาก$\alpha x^2+\beta x+\gamma $ ให้ a และ b เป็นรากของ $\alpha x^2+\beta x+\gamma $
จะได้ $a+b=\frac{-\beta }{\alpha }$และ$ab=\frac{\gamma }{\alpha }$
จาก(1) $-\beta = \alpha +\gamma $นำไปแทนใน a+b
$a+b=\frac{\alpha +\gamma }{\alpha }$
$a+b=1+ab$
$0=1-a-b+ab$
$0=(1-a)(1-b)$
จะได้ว่าคำตอบคือ (1,p),(q,1),(1,1) เมื่อ p,q เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เท่ากับ 1

[Scylla_Shadow]

อธิบายต่อจากคุณ lightlucifer นิดนึง

เพราะว่า $(x-1)$ เป็นรากของสมการ

และ $(x-1)(\alpha x-\gamma) \ = \ \alpha x^2-(\alpha+\gamma)x+\gamma $

จาก $\alpha+\beta+\gamma \ = \ 0 => \alpha+\gamma \ = \ -\beta$

สมการคือ $\alpha x^2+\beta x +\gamma $

แสดงว่าอีกรากหนึ่งก็คือ $\frac{\gamma}{\alpha}$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 3. นะครับ ผมได้ a = 7 ดังนั้นคำตอบคือ 50 ครับ
ข้อ 1. นั้นคำตอบคือ x = 1 แน่นอน แต่อีกคำตอบจะขึ้นอยู่กับการเลือกกำหนดให้
ค่า แอลฟา , เบต้า และแกมม่า นั้นสลับที่กันได้ 6 วิธี
เช่นให้สมการ x^3-7x+6; = 0 จะได้ x = 1 , 2 , -3
เราจะได้สมการ αx^2+βx+γ= 0 ถึง 6 แบบด้วยกัน
แต่ว่าทุกสมการจะมีคำตอบร่วมคือ x = 1 และอีกคำตอบจะได้จากการเลือกกำหนดค่า แอลฟา , เบต้า และแกมม่า
(ผมเพิ่งเริ่มเข้ามา ยังใช้การพิมพ์ตัวสมการไม่เป็น อยากให้ท่านผู้อาวุโสชี้แนะด้วย
จะได้ร่วมเฉลยปัญหากับท่านได้ง่ายขึ้นครับ )

[Platootod]

ผมได้ a =-29 อ่ะ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 3. ครับจาก x^4+ax^3+12x^2+11x+5 = x^4+(a−1)x^3+12x^2+11x+6
จะได้ -x^3+1=0 ดังนั้น x = 1 หรือ x^2+x+1 = 0
แต่โจทย์กำหนดให้มีรากซ้ำ 2 ราก เราจะได้ x^2+x+1 = 0 เป็นตัวประกอบของสมการ
และ จะได้ x^3 = 1 และ x^4 = x
แทนใน x^4+ax^3+12x^2+11x+5 จะได้ x+a+12(-x-1)+11x+5 = a-7
ดังนั้น a-7=0 จะได้ a=7
ทำให้ x^4+7x^3+12x^2+11x+5 และ x^4+6x^3+12x^2+11x+6 มีตัวประกอบร่วมเป็น x^2+x+1
คือ x^4+7x^3+12x^2+11x+5= (x^2+x+1)(x^2+6x+5)
และ x^4+6x^3+12x^2+11x+6= (x^2+x+1)(x^2+5x+6)
ดังนั้น a^2+1= 50 ครับ