คอนกรูเอนซ์กับจำนวนเฉพาะ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ เเละ $p\equiv 1(mod 4)$ จงพิสูจน์ว่า $[(\frac{p-1}{2})!]^2\equiv -1(mod p)$

[Euler-Fermat]

ผมใช้จาก ทบ.วิลสันอ่ะครับ
เริ่มจาก
$(p-1)! \equiv -1 (mod p)$
$(p-1)! \equiv 2^2 *4^2 *......*(p-1)^2 *(-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 (mod p)$
จะได้ $2^2 *4^2 *......*(p-1)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p)$
$ 2^2 *4^2 *......*(p-1)^2 = [2^{p-1} (\frac{p-1}{2})! ^2]$
จาก ทบ แฟรมาต์$ 2^{p-1} \equiv 1 (mod p)$
จะได้ $ (\frac{p-1}{2})! ^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}}$
จาก$ p \equiv 1 (mod 4)$
ดังนั้น$ p+1 \equiv 2 (mod 4)$
ดังนั้น $\frac{p+1}{2} \equiv 1 (mod 2)$
แล้ว เราจะได้
$(\frac{p-1}{2})! ^2 \equiv -1 (mod p) $ตามต้องการ