ช่วยอธิบาย telescoping series identity

[Yuka]

ช่วยอธิบาย telescoping series identity หน่อยครับ

ว่ามันคืออะไร แล้วเราจะสังเกตอย่างไรว่ามันคือ telescoping series identity

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+b)}=\frac{1}{b}\int_0^\infty \frac{1-u^b}{1-u}du=\frac{1}{b}\int_{0}^{1}\,(1+u+u^2+...+u^{b-1})du$$

จากอนุกรมด้านบนนี้เกี่ยวข้องอะไรกันกับtelescoping series identityครับ ช่วยอธิบายอย่างละเอียดหน่อยนะครับ เพราะผมไม่รู้จักtelescoping series identityมาก่อนเลย

ขอบคุณครับ

[Amankris]

ลองอ่าน L I N K นี้หรือยัง

[Yuka]

เคยอ่านแล้วครับ แต่ไม่เข้าใจอยู่ดี ติดกับภาษาด้วยมั้ง

แปลว่าอนุกรมนี้จะมีค่าเป็นหนึ่งหรือคับ งงมาก

[Amankris]

ลองดูตัวอย่างแรกใน LINK นั้นนะครับ

เราจะพยายามจัดรูป $F(n)$ ที่ต้องการหาผลบวก ให้อยู่ในรูป $G(n)-G(n+1)$

แล้วเราจะได้ Telescopic Sum ครับ

[Real Matrik]

ถ้าให้ $S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$
เราจะพยายามจัด $a_i$ ให้อยู่ในรูป $f(i)-f(i+1)$ เมื่อ $i=1,2,3,...,n$
ซึ่งจะได้ $S_n=[f(1)-f(2)]+[f(2)-f(3)]+[f(3)-f(4)]+...+[f(n)-f(n+1)]=f(1)-f(n+1)$

[Yuka]

แล้วTelescopic Sum คืออะไรครับ

คือการจัดรูปให้อยู่ในรูป f(i)−f(i+1) หรือครับ

ขอโทษนะครับ ผมไม่รู้เรื่องTelescopic Sum เลยจริงๆ