กรุป ครับท่าน

[ไอ้ลูกระเบิด]

ผมเจอโจทย์ข้อ หนึ่งในหนังสือ เขาบอกว่าให้ แสดงว่าเมื่อ n\geqslant 3 เเล้ว Sn (permutation group ของเชต {1 2 3 ... n}) จะ ไม่เป็น อาบีเลียน กรุป ช่วยหน่อยนะครับ ขอบคุณมาก

[Onasdi]

เราอยากแสดงว่า $S_n$ ไม่เป็น abelian group เราก็ต้องหาสมาชิก $a,b$ มาซึ่ง $ab\not=ba$ ใช่ไหมครับ ลองเลือก $a,b$ ดูครับ ถ้ายังไม่ได้ บอกนะครับ

[kongp]

ผมเจอว่า Sn มากกว่า 5 ไม่เป็น Abelian

$n\geqslant 3$

ใช่มั้ยครับ

[ไอ้ลูกระเบิด]

ผมยังหาไม่ได้ครับ

[nooonuii]

ใบ้ให้อีกว่า เราสามารถ embed $S_3$ เข้าไปใน $S_n$ ได้เสมอ

ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $S_3$ ไม่ abelian

[ไอ้ลูกระเบิด]

ถ้า S3 embed Sn เเสดงว่า Sn มีกรุปย่อยบางตัวที่ iso กับ S3 ผมได้ไอเดียเเล้วขอบคุณ ทุกท่านมากครับ ว่าเเต่ทำไม S3 ถึง embedใน Sn ครับขอบคุณมากครับ

[Onasdi]

พิจารณา $G=\{\sigma\in S_n\,|\,\sigma(x)=x$ ทุก $x\geqslant 4\}$ จะ isomorphic กับ $S_3$ พอดีครับ

[nooonuii]

ถ้ามองในแง่ cycle decomposition จะเห็นได้ชัดมากครับ

เช่น ใน $S_3$ เรามี $(123)$ ใน $S_n$ เราก็มี $(123)$ เหมือนกัน

แต่สองตัวนี้ต่างกัน เพราะตัวหลังหน้าตาจริงๆมันคือ $(123)(4)(5)\cdots (n)$

ตอน embed ก็ใช้การส่งที่เป็นธรรมชาติที่สุดคือส่ง $(123)$ ไปยัง $(123)(4)\cdots(n)$

[ไอ้ลูกระเบิด]

ข้ออีกคำถามนึงนะครับถ้า Sn สามารถอธิบายโครงสร้างของกรุปการเรียงสับเปลื่ยนใดทั้งหมด หรือ Sn iso SA เมื่อ |A|= n
ถ้า |A| = infenety จะเกิดอะไรขึ้นครับ ถ้าเป็นกรุปจะมีโครงสร้างยังไงครับ ขอบคุณมาก

[nooonuii]

มันก็ยังคงเป็น group ของการเรียงสับเปลี่ยนอยู่ครับ

เพราะความหมายของการเรียงสับเปลี่ยนคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง

แต่ต้องเจาะจงโดเมนให้ดีครับเพราะเซตอนันต์มีอยู่สองแบบ

ตัวอย่างเช่น $S_{\mathbb{N}}$ ก็คือ group ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก $\mathbb{N}$ ไปยัง $\mathbb{N}$ ทั้งหมด

group structure จะเริ่มยากขึ้นมากครับพอเป็นเซตอนันต์

ที่เห็นได้ชัดเลยคือมันจะมี subgroup ที่เป็น finite group ทั้งหมดตามทฤษฎีบทของ Cayley

ยังมีสมบัติอีกหลายอย่างที่ผมยังไม่รู้ครับ

[kongp]

เคยอ่านหนังสือวิชา Computation Geometry ผมเดาว่าหากจำนวนธรรมชาติถูกใช้แทนอย่างที่ตอบข้างบน ความผิดพลาดจะเกิดขึ้น หรือแม้แต่ในกรณี Sn >= 5 บางท่านเอาเงื่อนไขของการ Solvable มาตัดสิน ด้วยกฎที่เพิ่มเข้าไป ตรงนี้ผมก็งง อาจเพราะเป็นเหตุแห่งความหลากหลายของวิชานี้ กระมั้ง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

เคยอ่านหนังสือวิชา Computation Geometry ผมเดาว่าหากจำนวนธรรมชาติถูกใช้แทนอย่างที่ตอบข้างบน ความผิดพลาดจะเกิดขึ้น หรือแม้แต่ในกรณี Sn >= 5 บางท่านเอาเงื่อนไขของการ Solvable มาตัดสิน ด้วยกฎที่เพิ่มเข้าไป ตรงนี้ผมก็งง อาจเพราะเป็นเหตุแห่งความหลากหลายของวิชานี้ กระมั้ง

ความผิดพลาดในแง่ไหนครับ

[kongp]

ตัวเลข 3 หรือ 5 นี่ ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งมีเรนจ์ 1..N เมื่องวางเทียบกับแกน X จะเห็นว่าเมื่อมองไปทางขวาจะมีตัวเลขอีกมากมายที่เป็นจำนวนธรรมชาติเหมือนกัน มีจำนวนมากทีเดียว และก็เหมือนกับ เราใช้แบ็งค์สิบ ยี่สิบ ร้อย แต่ไม่มีแบ็งค์ ห้าร้อย หรือที่ค่าสูงกว่า คิดดูว่าจะเป็นไง

ซึ่งต่อไปอาจมีแบ็งค์ล้านออกมา แต่คงโดนแก้หน่วยจากบาทเป็นอย่างอื่นแน่นอน เหมือนเมื่อก่อนไทยเราใช้เงินสลึงกัน ก็ต้องยกเลิกไปใช่มั้ยครับ ก็เพราะว่ามีที่ผิด คิดว่านะครับ

เหตุผลมีอีกนานา เก็บไปคิดเอาเองบ้างนะครับ

[ไอ้ลูกระเบิด]

คุณKongp ครับ ผมว่าลองศึกษา เรื่องนี้ให้ดีก่อนดีกว่านะ ผมเเนะนำ

[kongp]

ขอบทความหรือหนังสืออ้างอิงที่น่าสนใจด้วยครับ หาเองอาจเจอไม่ตรงกัน หรือ เข้าใจต่างกัน