อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chichoice
กำหนดให้n เป็นจำนวนนับ และn>=1
จงหาA,BและCที่ทำให้ (1+1/(1x2))(1+1/(2x3))(1+1/(3x4))...(1+1/(n)(n+1))<=A-B/(n+C)
|
จากอสมการ AM-GM
$$(1+\frac{1}{1\cdot 2} )(1+\frac{1}{2\cdot 3} )...(1+\frac{1}{n\cdot (n+1)} )\leqslant \frac{(1+\frac{1}{1\cdot 2})+(1+\frac{1}{2\cdot 3} )+...+(1+\frac{1}{n(n+1)} ) }{n} $$
$$\frac{(1+\frac{1}{1\cdot 2})+(1+\frac{1}{2\cdot 3} )+...+(1+\frac{1}{n(n+1)} ) }{n} =\frac{n+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} }{n} $$
$$\frac{(n+1)-\frac{1}{n+1} }{n} =\frac{(n+1)^2-1}{n(n+1)} =\frac{n^2+2n}{n^2+n} =1+\frac{n}{n^2+n} =1+\frac{1}{n+1} $$
$$\therefore (1+\frac{1}{1\cdot 2} )(1+\frac{1}{2\cdot 3} )...(1+\frac{1}{n\cdot (n+1)} )\leqslant 1+\frac{1}{n+1} $$
$Answer:A=1,B=-1,C=1$
14 เมษายน 2013, 21:05
อุปนัย
