ช่วยหาฐานของเวคเตอร์ให้ทีครับ

[meth51]

ช่วยหาฐานของปริภูมิเวคเตอร์w ซึ่ง span โดย
{(1,1,1),(5,4,3),(2,1,6),(4,5,-12)}
ขอบคุณครับ

[nongtum]

ใน $\mathbb{R}^3$ น่าจะมีเวกเตอร์ฐานแค่สามตัวนะครับ...
$0\cdot(1,1,1)+2\cdot(5,4,3)-3\cdot(2,1,6)=(4,5,-12)$

[meth51]

รบกวนบอกรายละเอียดให้อีกหน่อยครับ ทำไมต้อง= (4,5-12)
แล้วคำตอบคืออะไรครับ(โง่ครับ) ขอบคุณครับ

[nongtum]

ขออภัยครับ ผมเข้าใจเจตนาโจทย์ผิดไปน่ะ ลองไปเปิดหนังสือ Elementary Linear Algebra ของ Anton เขาทำแบบนี้น่ะครับ

ตอนแรก เนื่องจากเซต span มีเวกเตอร์ใน $\mathbb{R}^3$ อยู่ 4 เวกเตอร์
เราจะหาสับเซตของเวกเตอร์ที่โจทย์ให้มาที่เป็นฐานของปริภูมิที่ span โดยเวกเตอร์ในเซตนี้ โดย

เขียนเวกเตอร์ทั้งสี่เป็น column vector ในเมตริกซ์ ก่อนใช้ row operation จัดให้อยู่ในรูป row reduced echelon form
(คำถามให้คิด: ทำไมต้องทำต่อขนาดนั้น ทั้งที่จริงโดยทฤษฎีแล้ว แค่ row echelon form ก็ได้ basis แล้ว)
ซึ่งจะได้ว่า (ทดเองนะครับ)
$\bmatrix{
1&5&2&4\\
1&4&1&5\\
1&3&6&-12\\
}
\sim
\bmatrix{
1&0&0&0\\
0&1&0&2\\
0&0&1&-3\\
}$
$
\begin{array}{cccccrcll}
\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow&&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow\\
v_1&v_2&v_3&v_4&&\ \ w_1&w_2&w_3&w_4\\
\end{array}$
(ขออภัย พยายามจัดให้มันตรงได้แค่นี้แหละครับ)
เราจึงได้ $\{ w_1,\ w_2,\ w_3\}$ เป็น column space ของเมตริกซ์ขวา และ $\{ v_1,\ v_2,\ v_3\}$ เป็น column space ของเมตริกซ์ซ้ายครับ

จากตรงนี้น่าจะสรุปคำตอบได้แล้วนะครับ

ปล. หากยังสงสัย ไปเปิดหนังสือของ Anton ดูทฤษฎีและตัวอย่างได้ครับ