ถามโจทย์ 1 ข้อครับ

[nutty09]

กำหนดให้ $f(x) = x^6 + ax^4 + bx^2 - 1$ เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง
ถ้า $f(1 + 2i) = 0$ และ c เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $f(c) = 0$ แล้ว c อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้

1. (0, 0.25]
2. (0.25, 0.5]
3. (0.5, 0.75]
4. [0.75, 1]

[nutty09]

รบกวนด้วยนะครับ ทำไม่เป็นอะคับ

ขอบคุณมากคับ

[หยินหยาง]

เนื่องจากสมการเป็นฟังก์ชั่นคู่ ถ้า x เป็นรากของคำตอบก็จะมี -x เป็นคำตอบด้วย ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ เอาคำตอบไปตรวจสอบครับ จะได้ $c = .2$

[nutty09]

ขอบคุณมากครับ

ที่ว่า สมการเป็นฟังก์ชั่นคู่ ถ้า x เป็นรากของคำตอบก็จะมี -x เป็นคำตอบด้วย

x นี่เป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ด้วยใช่มั้ยครับ

แสดงว่าถ้า 1 + 2i เป็นคำตอบ แล้ว -1 - 2i ก็จะเป็นคำตอบด้วย

ผมเข้าใจอย่างนี้ถูกมั้ยครับ

[nooonuii]

จริงๆแล้วต้องเพิ่มอีกหน่อยว่า เนื่องจากสมการมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง

จะได้ว่าคำตอบจะมาเป็นคู่ conjugate เช่น

ถ้า $1+2i$ เป็นราก $1-2i$ ก็จะเป็นด้วย

[กิตติ]

ข้อนี้เมื่อวานนั่งคิดแล้วกำลังจะโพสด้วยการนั่งแก้สมการโดยหา
$(1+2i)^2,\quad (1+2i)^2, \quad (1+2i)^6$
หาสมการตัวจริงออกมาด้วย แต่รู้สึกว่ามันถึกมากๆ เลยลองกลับไปนั่งทวน
ได้ความรู้สองอย่างที่ใช้แก้โจทย์ได้ด้วยการไม่ต้องหาสมการตัวจริง....ลองคิดดูว่ามันจะได้ไหม
1.เรารู้ว่า เมื่อ $1+2i$ เป็นรากหนึ่งของสมการแล้ว $1-2i$ จะเป็นอีกรากหนึ่งของสมการ
โดยเฉพาะถ้า$f(x)$ที่กำหนดมาเราเขียนแทน$x^2$ ด้วย $A$
จะได้ว่า $f(A) = A^3+aA^2+bA-1$ เมื่อเราแก้ได้ค่า$A$ก็ต้องไปเข้าสูตรแก้สมการกำลังสองซึ่งเรารู้ว่าพจน์คำตอบเราคั่นด้วยเครื่องหมาย$\pm $
......ไม่รู้ว่าผมเข้าใจถูกหรือเปล่า
2.เรารู้อีกว่าพจน์สุดท้ายของสมการพหุนามนั้นจะเป็นผลคูณของรากสมการ
ถ้าเราเขียน$f(x)$ ในรูปของ $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)$ เมื่อ$a,b,c,d,e,f$ เป็นรากของสมการ
พจน์สุดท้ายที่ไม่มี$x$ คือ $abcdef$ เท่ากับ $-1$
เรารู้สองรากคือ $1+2i$ และ $1-2i$ ซึ่งผลคูณได้เท่ากับ $5$
ผลคูณของรากที่เหลือคือ $ -\frac{1}{5} $...ค้างหาอีกสี่ราก
ผมติดอยู่ตรงนี้....คงต้องไปหาสมการตัวจริงแล้วล่ะมั้งครับ
หรือถ้าเราไม่รู้สมการพหุนามจริงๆ เราพอจะรู้ได้ไหมครับว่า สมการนี้มีรากเป็นจำนวนจริงกี่ตัว และมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนอีกหรือเปล่า

[lek2554]

ต้องใช้ความรู้ทั้งหมดที่กล่าวมาครับ
สรุปว่าคำตอบของสมการคือ $1+2i,1-2i,-1-2i,-1+2i,c,-c$
แล้วสรุปว่า ผลคูณราก = -1
$(1+2i)(1-2i)(-1-2i)(-1+2i)(c)(-c)=-1$ จะได้ $c=0.2$

หมายเหตุ ผลคูณราก = $(-1)^n\cdot \frac{a_0}{a_n} $

เวลาพิมพ์เศษส่วน ทำไมออกมาเป็นตัวเล็ก

[กิตติ]

ใช้Vieta's Formula ใช่ไหมครับตรงที่เขียนเป็นผลคูณของราก
โดยทั่วไปในสมการพหุนาม เราพอจะบอกได้ไหมครับว่าสมการนี้จะมีรากเป็นจำนวนจริงกี่รากและมีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนกี่ราก
ขออนุญาตตัดภาพจากเอกสารในเวปพระตระบองเรื่องสมการพหุนามชุดที่1 หน้า3
ที่เขียนถึงรากที่เป็นจำนวนตรรกยะ..ไม่รู้ว่าพอจะประยุกต์ใช้กับข้อนี้ได้ไหมครับ
จากสมการที่โจทย์ให้ $a_n=1 ,\quad a_0 = -1$

จากที่คุณNOOONUIIบอกเราพอสรุปได้ไหมครับว่า
ถ้า $a+bi$ เป็นรากของสมการพหุนามแล้วจะมี $a-bi,\quad -a+bi ,$ และ $ -a-bi$ เป็นรากของสมการ เสมอหรือเปล่าครับ

สำหรับการเขียนเศษส่วนแล้วตัวเล็ก ก็เปลี่ยนคำสั่งจาก \frac เป็น \dfrac
ลองดูตัวอย่าง
$\frac{x}{y} $

$\dfrac{x}{y} $

[nooonuii]

ไม่มีเกณฑ์ในการตัดสินว่าพหุนามหนึ่งจะมีรากเป็นจำนวนใดบ้าง

เรื่องนี้ยังอยู่ในระดับงานวิจัยและคิดว่าคงสรุปเป็นรูปทั่วไปได้ยากมาก

แต่เราก็พอจะบอกอะไรได้บ้างถ้าพหุนามมีสมบัติบางอย่าง เช่น

1. ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งหมด ซึ่งสมมูลกับสมบัติที่ว่า $P(z)=P(\overline{z})$

เราจะได้ว่ารากเชิงซ้อนจะมาเป็นคู่คือ $z$ และ $\overline{z}$

2. ถ้าพหุนามมีแต่เทอมกำลังคู่ ซึ่งสมมูลกับสมบัติที่ว่า $P(x)=P(-x)$ รากของพหุนามจะมาเป็นคู่คือ $x,-x$

โจทย์ข้อนี้มีครบทั้งสองอย่างจึงมีรากที่รู้แน่นอนแล้วสี่ราก คือ $\pm 1\pm 2i$

อีกสองรากเราก็รู้ว่าต้องอยู่ในรูป $\pm c$

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณNOOONUII
เข้าใจแล้วครับว่า ที่โจทย์กำหนดมาให้มันล็อคให้ใช้ตามที่คุณNOOONUIIบอก
ดังนั้นเราไม่จำเป็นต้องหาค่า $a,b$ ในสมการพหุนามที่โจทย์กำหนด ก็สามารถหาคำตอบที่โจทย์ถามได้
ขอบคุณเจ้าของโจทย์,ฮิ้นจากซือแป๋หยินหยาง,เฉลยคำตอบจากคุณlek2554 และคำอธิบายอันกระจ่างแจ้งจากคุณNOOONUII

[lek2554]

ขอบคุณ คุณกิตติที่ช่วยแนะนำการพิมพ์ตัวเล็กตัวใหญ่ครับ ไม่ค่อยมีเวลาอ่านคำแนะนำในการพิมพ์ ต่อไปต้องหาเวลาอ่านบ้าง จะได้พิมพ์สวยๆ กับเค้ามั่ง

เสริมนิดหนึ่งครับ เวลาเปลี่ยนตัวแปรในสมการ เขียนด้านซ้ายเป็น $f(A)$ ไม่ได้ครับ เพราะเดิมเป็น $f(x)$ ไม่ใช่ $f(x^2)$