|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยเเก้ให้ทีงับไปไม่ถูก
$(tan1)^2 + (tan2)^2 + (tan3)^2 + ...+(tan89)^2 มีค่าเท่าไร$
20 สิงหาคม 2015 12:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Krittam |
#2
|
||||
|
||||
ลองดูจากกระทู้ข้างล่างนะครับ ถ้าอ่านไม่เข้าใจค่อยว่ากันต่อละกันนะครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17203
__________________
I LoVe MWIT SimpL3 MaKes SuccEss |
#3
|
||||
|
||||
แต่ผมอ่านวิธีทำในนั้นแล้วแอบงงๆนิดนึงเหมือนกัน ผมจะลองเขียนวิธีทำดูให้ใหม่ละกันนะครับ
จากความรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน เราทราบว่า $(\cos\theta+i\sin\theta)^{180}=\cos{180\theta}+i\sin{180\theta}$ กระจายพจน์ที่ยกกำลัง (ด้านซ้ายมือของสมการ) และเทียบส่วนที่เป็นจำนวนจินตภาพจะได้ว่า $\left(\matrix{ 180 \\ 1 }\right)(\cos\theta)^{179}\sin\theta-\left(\matrix{ 180 \\ 3 }\right)(\cos\theta)^{177}(\sin\theta)^3+\left(\matrix{ 180 \\ 5 }\right)(\cos\theta)^{175}(\sin\theta)^5-\cdots-\left(\matrix{ 180 \\ 179 }\right)\cos\theta(\sin\theta)^{179}=\sin{180\theta}$ หลังจากนั้นดึง $(\sin\theta)^{180}$ ออกมา (ทำกับพจน์ทางด้านซ้ายมือของสมการ) ได้ว่า $(\sin\theta)^{180}\left(\left(\matrix{ 180 \\ 1 }\right)(\cot\theta)^{179}-\left(\matrix{ 180 \\ 3 }\right)(\cot\theta)^{177}+\left(\matrix{ 180 \\ 5 }\right)(\cot\theta)^{175}-\cdots-\left(\matrix{ 180 \\ 179 }\right)\cot\theta\right)=\sin{180\theta}$ นั่นคือ $(\sin\theta)^{180}\cot\theta\left(\left(\matrix{ 180 \\ 1 }\right)(\cot\theta)^{178}-\left(\matrix{ 180 \\ 3 }\right)(\cot\theta)^{176}+\left(\matrix{ 180 \\ 5 }\right)(\cot\theta)^{174}-\cdots-\left(\matrix{ 180 \\ 179 }\right)\right)=\sin{180\theta}$ เมื่อแทน $\theta=1,2,3\ldots,89$ จะเห็นได้ว่า ทางขาวมือของสมการเป็นศูนย์ ($\sin{180\theta}=0$) แต่ว่า $\sin\theta\neq 0$ และ $\cot\theta\neq 0$ ดังนั้นจากสมการด้านบน เราสรุปได้ว่า เมื่อ $\theta=1,2,3\ldots,89$ แล้ว $\left(\matrix{ 180 \\ 1 }\right)(\cot\theta)^{178}-\left(\matrix{ 180 \\ 3 }\right)(\cot\theta)^{176}+\left(\matrix{ 180 \\ 5 }\right)(\cot\theta)^{174}-\cdots-\left(\matrix{ 180 \\ 179 }\right)=0$ แทน $x=(\cot\theta)^2$ ลงไปในพจน์ทางซ้ายมือ ได้พหุนามข้างล่างคือ $P(x)=\left(\matrix{ 180 \\ 1 }\right)x^{89}-\left(\matrix{ 180 \\ 3 }\right)x^{88}+\left(\matrix{ 180 \\ 5 }\right)x^{87}-\cdots-\left(\matrix{ 180 \\ 179 }\right)$ ซึ่งมีรากทั้งหมดคือ $x= (\cot{1})^2,(\cot{2})^2,(\cot{3})^2,\ldots,(\cot{89})^2$ (ที่เราสรุปได้ว่าเป็นรากทั้งหมดเพราะ แต่ละตัวมีค่าไม่เท่ากันและมีทั้งหมด $89$ ตัวพอดี) จาก Vieta's formulas เราได้ว่า $(\cot{1})^2+(\cot{2})^2+(\cot{3})^2+\cdots+(\cot{89})^2=\frac{1}{180}\left(\matrix{ 180 \\ 3 }\right)=5310\frac{1}{3}$ หลังจากนั้น ใช้ $\cot{A}=\tan{(90-A)}$
__________________
I LoVe MWIT SimpL3 MaKes SuccEss |
#4
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ เข้าใจเเล้ว เเต่ผมสงสัยว่าถ้าผมกระจาย $ cis(x) กำลัง360 $ จะได้คำตอบตรงไหมงับ
20 สิงหาคม 2015 23:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Krittam |
#5
|
||||
|
||||
ขอโทษทีครับที่ตอบช้า ผมลองคิดแบบคร่าวๆแล้ว ผมว่าอาจจะไม่ได้นะครับ ผมก็ไม่ได้ลองเหมือนกัน
แต่ผมแนะนำให้คุณ Krittam ลองทำดูนะครับว่าได้หรือไม่ ซึ่งก็จะช่วยให้คุณ Krittam ทดสอบตัวเองด้วยว่าเข้าใจวิธีทำจริงๆหรือไม่นะครับ
__________________
I LoVe MWIT SimpL3 MaKes SuccEss |
|
|