โจทย์เก่าจากค่าย 1 สสวท

[[T]ira[W]]

ช่วยหน่อยนะครับ
1. ให้ \( n \) เป็นจำนวนนับ และ \( p \) เป็นจำนวนเฉพาะที่ \( 1+np \) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงแสดงว่า \( n+1 \) เป็นผลบวกของกำลังสองสมบูรญ์ \( p \) จำนวน
2. ให้ \( P \) เป็นจุดในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวแต่ละด้านเป็น 1 ถ้า \( PA = x, PB = y, PC = z\) จงแสดงว่า \( \frac{3}{4} < x^{2}+y^{2}+z^{2} < 2 \)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ [T]ira[W]:
1. ให้ \( n \) เป็นจำนวนนับ และ \( p \) เป็นจำนวนเฉพาะที่ \( 1+np \) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงแสดงว่า \( n+1 \) เป็นผลบวกของกำลังสองสมบูรญ์ \( p \) จำนวน

ให้ 1 + np = u² ดังนั้น u² - 1 = (u - 1)(u + 1) บ 0 (mod p)
แสดงว่า u บ 1 (mod p) หรือ u บ -1 (mod p)
ในกรณีที่ u บ 1 (mod p) ให้ u = pk + 1
เราจึงได้ว่า 1 + np = (pk + 1)² = p²k² + 2pk + 1
นั่นคือ n = pk² + 2k
ดังนั้น n + 1 = pk² + 2k + 1 = (p - 1)k² + (k² + 2k + 1) = (p - 1)k² + (k + 1)²
แสดงว่า n + 1 สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของกำลังสองสมบูรณ์ p จำนวน
ในกรณีที่ u บ -1 (mod p) ก็ทำแบบเดียวกันครับ

[gon]

ข้อ 2 ครับ.

Part I : โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ \(x \leq y \leq z \)

Part(1)

โดยอสมการ Chevbyshev : \(x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2 \quad \cdots (1) \)
โดยอสมการสามเหลี่ยม \(x+y>1, y+z>1, z+x>1 \Rightarrow x+y+z > \frac{3}{2} \)
เมือแทนลงใน (1) ก็จะได้ว่า \(x^2 + y^2 + z^2 > 3(\frac{9}{4}) = \frac{3}{4} \)

Part II ส่วนนี้ผมทำน่าเกลียดมาก ใครทำได้สวย ๆ ช่วยลองดูที

Part(2)

พิจาณาสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดอยู่ที่ \((0,0),(1,0) , (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
และจุด P มีพิกัดเป็น (a, b) :

เนื่องด้วยความสมมาตร จะเพียงที่จะพิสูจน์ เพียงครึ่งซีกด้านซ้ายมือ กล่าวคือ ลากส่วนของเส้นตรงจากจุด \((\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) ลงมาที่แกน x และ จะพิสูจน์เมื่อจุด P อยู่ด้านซ้ายมือเท่านั้น

เราก็จะได้เงื่อนไขว่า \(0 < a < \frac{1}{2} , 0 < b < \frac{\sqrt{3}}{2} , b < \sqrt{3}a \)

การพิสูจน์ว่า \( x^2 + y^2 + z^2 < 2 \)
ก็คือการพิสูจน์ว่า \(a^2 + b^2 + (a-1)^2 + b^2 + (a-\frac{1}{2})^2 + (b-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 < 2 \)
หรือ \(\sqrt{3}a + b > \sqrt{3}(a^2 + b^2) \) นั่นเอง.

ซึ่งเป็นจริง ทั้งนี้เพราะ \(\sqrt{3}a + b > \sqrt{3}a + \sqrt{3}a = 2\sqrt{3}a \quad \cdots (2)\)
แต่ \(0 < a < \frac{1}{2} \Rightarrow a > 2a^2 \) เมื่อนำไปต่อจาก (2) ก็จะได้ว่า
\( LHS. > 2\sqrt{3}(2a^2) = 4\sqrt{3}a^2 = \sqrt{3}a^2 + 3\sqrt{3}a^2 > \sqrt{3}a^2 + \sqrt{3}b^2 (เพราะ b < \sqrt{3}a) = \sqrt{3}(a^2 + b^2) \)

[Punk]

2. อสมการขวามือใช้กฎของโคไซน์ ได้ว่า \( x^2+y^2\leq1+2xy\cos(\pi/3)=1+xy \) (เพราะมุม APB มากกว่าหรือเท่ากับ \(\pi/3\))
และสังเกตุว่า \( xy+yz+zx\leq2\,\text{Area}\,ABC=\sqrt{3}/2 \) ดังนั้น
\[
\sum_{\text{cyc}}(x^2+y^2)\leq3+\sum_{\text{cyc}}xy\leq3+\frac{\sqrt{3}}{2}<4
\]