แนะนำหน่อยครับ

[pure_mathja]

ถ้า \(x,y,z\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
\(2x^2 y^2 + 2y^2 z^2 + 2z^2 x^2 - x^4 - y^4 - z^4 = 4104\)
แล้ว \(x + y + z\) มีค่าเท่าไร

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pure_mathja

ถ้า \(x,y,z\) เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
\(2x^2 y^2 + 2y^2 z^2 + 2z^2 x^2 - x^4 - y^4 - z^4 = 4104\)
แล้ว \(x + y + z\) มีค่าเท่าไร

\(-(x^2-y^2)^2+2z^2(y^2+x^2)-z^4=4104\)
\(-(x^2-y^2)(x^2-y^2)-z^4+2z^2(y^2+x^2)=4104\)
\(-(x^2-y^2+z^2)(x^2-y^2-z^2)+2z(y^2+x^2)=4104\)
ตันแล้วคับ

[Scylla_Shadow]

ขอคนทำต่อด้วยนะครับ ผมพยายามหาวิธีแยกตัวประกอบและมันก็สำเร็จจนได้

ก้อนข้างบนมันคือ !!! $(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$

ดังนั้น $4104 \ = \ (x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) $

[[SIL]]

ลองคูณ 2 เข้าแล้วแยกตัวประกอบดูใหม่ครับเผื่อง่ายขึ้น

[pure_mathja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ขอคนทำต่อด้วยนะครับ ผมพยายามหาวิธีแยกตัวประกอบและมันก็สำเร็จจนได้

ก้อนข้างบนมันคือ !!! $(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$

ดังนั้น $4104 \ = \ (x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) $

\(4104 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 19\)
แล้วจัด 4 ตัวคูณกัน \(4104 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 19\) หรือ \(4104 = 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot 19\) แล้วหาชุดที่สอดคล้อง แต่ผมหาไม่เจอ

[Platootod]

คือคำตอบมันออกจะแตกต่างไปหน่อย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

\((x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=4104\)

\(2x^2y^2+2x^2z^2+2z^2y^2-x^4-y^4-z^4=4104\)
\(-x^4+2x^2y^2-y^4-z^4+2x^2z^2+2y^2z^2=4104\)
\(-((x^2+y^2)^2-4x^2y^2)-z^2(z^2-2(x^2+y^2)=4104\) สมมติให้ x^2+y^2=b
\(-(b^2-4x^2y^2)-z^4+2z^2b=4104\)
\(-b^2+4x^2y^2-z^4+2z^2b=4104\)
\(b^2-4x^2y^2+z^4-2z^2b=-4104\)
\((z^2-b)^2-(2xy)^2=-4104\)
\((z^2-2xy-x^2-y^2)(z^2+2xy-x^2-y^2)=-4104\)
\((z^2-(x+y)^2)(z^2-(x-y)^2)=-4104\)
\((z-x-y)(z+x+y)(z-x+y)(z+x-y)=-4104\)

เอาลบ1 คุณเข้าไปสี่ตัวจะได้ \((x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=4104\)
เนื่องจาก 4104=4*6*9*19
คือมาคิดดูแล้วค่า มันเป็นได้หลายแบบ
4104=4*6*9*19
4104=4*2*9*57
4104=2*6*3*114
4104=2*6*9*38
ลองแทนค่า
(x+y+z)
(x+y-z)
(y+z-x)
(z+x-y)
เป็นค่าๆหนึ่งในนี้ดูแล้วลองดูว่าสมการไหนมันเป็นจริง
แต่ (x+y+z) ผมว่าต้องเป็นค่าที่มากที่สุดเสมอ
เดียวผมจะยกตัวอย่างซักหนึ่งสมการ
แก้สมการ
(x+y+z)=19
(x+y-z)=9
(y+z-x)=6
(z+x-y)=4
ป.ล.คำตอบที่ไม่ใช่ 19 อาจจะสลับกัน
เนื่องจาก x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกดังนั้น x+y+z คือ จำนวนที่มากที่สุด
ตอบ x+y+z=19


ถ้าผิดก็ขออภัยด้วยคับ

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

คือคำตอบมันออกจะแตกต่างไปหน่อย

\(2x^2y^2+2x^2z^2+2z^2y^2-x^4-y^4-z^4=4104\)
\(-x^4+2x^2y^2-y^4-z^4+2x^2z^2+2y^2z^2=4104\)
\(-((x^2+y^2)^2-4x^2y^2)-z^2(z^2-2(x^2+y^2)=4104\) สมมติให้ x^2+y^2=b
\(-(b^2-4x^2y^2)-z^4+2z^2b=4104\)
\(-b^2+4x^2y^2-z^4+2z^2b=4104\)
\(b^2-4x^2y^2+z^4-2z^2b=-4104\)
\((z^2-b)^2-(2xy)^2=-4104\)
\((z^2-2xy-x^2-y^2)(z^2+2xy-x^2-y^2)=-4104\)
\((z^2-(x+y)^2)(z^2-(x-y)^2)=-4104\)
\((z-x-y)(z+x+y)(z-x+y)(z+x-y)=-4104\)
เนื่องจาก 4104=4*6*9*19
เนื่องจาก x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวกดังนั้น x+y+z คือ จำนวนที่มากที่สุด
ตอบ x+y+z=19


ถ้าผิดก็ขอโทษด้วยคับ

เขากำหนดว่า $x,y,z\in \mathbb{R} ^+$ นะครับ

[Platootod]

ขอโทษด้วยคับ
จะรีบแก้คับ

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ขอโทษด้วยคับ
จะรีบแก้คับ

คือปัญหาของข้อนี้ที่ผมกำลังคิดิยู่ว่า x,y,z อาจจะเป็นอตตรกยะก็ได้ไงครับ ถ้าเป็นอย่างนั้นจะทำให้แยกกรณีไม่ได้อ่ะครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pure_mathja

\(4104 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 19\)
แล้วจัด 4 ตัวคูณกัน \(4104 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 19\) หรือ \(4104 = 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot 19\) แล้วหาชุดที่สอดคล้อง แต่ผมหาไม่เจอ

ผมหาให้ดู 1 ชุดสำหรับ \(4104 = 4 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 19\) ให้ดูเป็นแนวทางก็แล้วกันครับ
x = $\ \frac {(19-4)}{2} \ = 7.5$
y = $\ \frac {(19-6)}{2} \ = 6.5$
z = $\ \frac {(19-9)}{2} \ = 5.0$
และก็ได้ค่า (x+y+z) = 19 ตามคาดหมายครับ

[nooonuii]

สรุปว่า $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนจริงบวก ครับ

คนถามโจทย์น่าจะมาชี้แจงตรงจุดนี้ให้ชัดเจนนะครับ

เพราะว่า คำตอบที่ได้จะต่างกันมากทีเดียว

[pure_mathja]

ขอโทดด้วยครับ พิมพ์โจทย์ผิดครับ จำนวนเต็มบวกครับ

ปล. ไปค่ายคณิตศาสตร์ต่างจังหวัดมาหลายวัน เลยไม่ได้ตามกระทู้อาจทำให้พี่ๆ สับสนกัน ขออภัยด้วยครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pure_mathja

ขอโทดด้วยครับ พิมพ์โจทย์ผิดครับ จำนวนเต็มบวกครับ

ปล. ไปค่ายคณิตศาสตร์ต่างจังหวัดมาหลายวัน เลยไม่ได้ตามกระทู้อาจทำให้พี่ๆ สับสนกัน ขออภัยด้วยครับ

ถ้า x;y;z เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วเราจะหาคำตอบได้ยังไง

จากสมการ $(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=4104$

สามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น $(x+y+z)(x+y+z-2z)(y+z+x-2x)(z+x+y-2y)=4104$

1. ถ้า(x+y+z) มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นเลขคี่ แล้วทุกจำนวนในวงเล็บจะเป็นเลขคี่ด้วย ผลคูณเป็นเลขคู่ไม่ได้

2. ถ้า(x+y+z) มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นเลขคู่ แล้วทุกจำนวนในวงเล็บจะเป็นเลขคู่ด้วย ผลคูณเป็นเลขคู่ได้
แต่เนื่องจาก 4104=2^3*3^3*19 --> มีเลข 2 เพียงแค่ 3 ตัว แล้วจำนวนทั้ง 4 จะเป็นเลขคู่ได้อย่างไร