ถามต่อเรื่องอนุกรมพีค่ะ

[rinso]

$\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2 \, dx,$


$โดยที่ a_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x e^{-inx} \, dx = \frac{n\pi \cos(n\pi)-\sin(n\pi)}{\pi n^2} i = \frac{\cos(n\pi)}{n} i - \frac{\sin(n\pi)}{\pi n^2} i = \frac{(-1)^n}{n} i$

รบกวนช่วยอินทิเกรตตรงนี้หน่อยได้รึป่าวค่ะ
ต้องใช้ bypart หรือ อะไรค่ะ แล้วเราแทนค่า$e^{inx}$ เข้าไปก่อนเลยรึป่าวค่ะ
ช่วยหน่อยนะคะ แก้ไม่ได้ซักทีอ่ะค่ะ


โดยที่
$e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx)$

[nooonuii]

by parts โดยไม่ต้องแยกก็ได้ครับ ก็ติด $i$ กับ $n$ เป็นค่าคงที่

หรือจะแยกเป็นแบบนี้ก็ได้เหมือนกัน

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x e^{-inx} \, dx =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos{nx}\,dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin{nx}\,dx $

[rinso]

ขอบคุณคุณ nooonuii มากมากเลยนะค่ะ ^^