True or False ?

[suan123]

If $\lambda$ is an eigenvalue of $A$ and $\mu\in\mathbb{C}$ , then $\lambda-\mu$ is an eigenvalue of $A-\mu I$.

If $A$ diagonalizable and all its eigenvalues are equal, then $A$ is diagonal.

รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

If $\lambda$ is an eigenvalue of $A$ and $\mu\in\mathbb{C}$ , then $\lambda-\mu$ is an eigenvalue of $A-\mu I$.

If $A$ diagonalizable and all its eigenvalues are equal, then $A$ is diagonal.

รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

สมมติ $Av=\lambda v,v\neq 0$ จะได้ ($A-\mu I)v=(\lambda-\mu)v$ ดังนั้น $\lambda-\mu$ เป็น eigenvalue ของ $A-\mu I$

สมมติ $A=PDP^{-1}$ เมื่อ $D$ เ้ป็น diagonal matrix ของ eigenvalue ของ $A$

แต่ eigenvalue ของ $A$ เท่ากันทั้งหมดสมมติว่าคือ $\lambda$ จะได้ว่า $D=\lambda I$

จึงได้ $A=P(\lambda I)P^{-1}=\lambda I=D$