โจทย์จำนวนเชิงซ้อน

[RoSe-JoKer]

ถ้า $\alpha $= รากที่ 7 ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1 จงหารากทั้งสองของสมการ $z^2+z+2=0$ ในรูปพหุนามของ $\alpha$ ที่มีดีกรีต่ำสุด

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ถ้า $\alpha $= รากที่ 7 ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1 จงหารากทั้งสองของสมการ $z^2+z+2=0$ ในรูปพหุนามของ $\alpha$ ที่มีดีกรีต่ำสุด

$1=cis0^{\circ }$

$1^{\frac{1}{7} } = cis\frac{2k\pi +0}{7} ^{\circ } $

รากที่ 7;k=6;

$cis\frac{2(6)\pi +0}{7} ^{\circ } =cis\frac{12\pi }{7} =\alpha $

ให้ z=x+yi เป็นรากหนึ่งของสมการ

จะได้ว่า

$(x+yi )^2+x+yi +2=0$

$x^2-y^2+2xyi+x+yi+2=0$...(1)

จาก x+yi เป็นรากจะได้ว่า x-yi เป็นรากด้วย

$(x-yi )^2+x-yi +2=0$

$x^2-y^2-2xyi+x-yi+2=0$...(2)

(1)-(2);

$4xyi-2yi=0$

$2xyi-yi=0$

$yi(2x-1)=0$

$y=0$ หรือ $x=\frac{1}{2} $

แทน $x=\frac{1}{2} $ ลงใน (1)

$\frac{1}{4} -y^2+yi+\frac{1}{2} +yi+2=0$

$(yi)^2+2yi+\frac{11}{4} =0$

$yi=\frac{-2\pm \sqrt{4-11} }{2} =\frac{-2\pm \sqrt{7i}}{2} $

ทำเพลิน แต่เลขออกมาไม่สวย ไม่รู้ว่าจะจัดในรูปแอลฟา ยังไง <_>