diff

[mathstudent2]

ตอนที่เราแก้อสมการ

จะใช้ diff ในการแก้อย่างไรครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2

ตอนที่เราแก้อสมการ

จะใช้ diff ในการแก้อย่างไรครับ

หมายถึงการใช้ tangent line หรือเปล่าครับ
EX (Poland 1996)($a+b+c = 1,a,b,c \geq \frac{-3}{4}$)
Solution $$\because (3a-1)^2(4a+3) \geq 0$$
$$\therefore \frac{a}{a^2+1} \leq \frac{18a}{25}+\frac{3}{50}$$
$$\therefore \sum_{cyclic}\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{9}{10}$$

[owlpenguin]

เท่าที่นึกออกก็คือสร้างฟังก็ชั่นอะไรสักอย่างแล้วพิจารณาว่ามัน concave หรือ convex แล้วก็ไปใช้ Jensen ก็ได้ หรือถ้ากำหนดช่วงมา ก็จะได้ extremum อยู่ที่ vertex หนึ่งของขอบเขต

แล้วข้อของ Poland ที่คุณ dektep ยกตัวอย่างมานี่ใช้ Differentiation ตรงไหนอ่ะครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

เท่าที่นึกออกก็คือสร้างฟังก็ชั่นอะไรสักอย่างแล้วพิจารณาว่ามัน concave หรือ convex แล้วก็ไปใช้ Jensen ก็ได้ หรือถ้ากำหนดช่วงมา ก็จะได้ extremum อยู่ที่ vertex หนึ่งของขอบเขต

แล้วข้อของ Poland ที่คุณ dektep ยกตัวอย่างมานี่ใช้ Differentiation ตรงไหนอ่ะครับ

ใช้ตรงหาค่า $k$ ที่ทำให้ $\frac{a}{a^2+1} \leq \frac{3}{10}+ka-\frac{k}{3}$
$f'(\frac{1}{3}) = \frac{18}{25}$

[owlpenguin]

่ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูได้ไหมครับ?

[nooonuii]

ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ในระดับ ม. 6 ลองไปศึกษาได้
แค่นี้ก็น่าจะพอช่วยให้ทำโจทย์อสมการได้
เครื่องมือที่สำคัญที่ใช้ความรู้ระดับนี้ก็คงจะเป็น Jensen inequality ครับ
แต่ถ้าความรู้แคลคูลัสมากหน่อยก็อาจจะใช้อย่างอื่นได้ด้วยเช่น Lagrange Multiplier
จริงๆแล้วการพิสูจน์อสมการก็คือการหาค่าสูงสุด ต่ำสุด ของฟังก์ชันนั่นเองครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

่ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูได้ไหมครับ?

จริง ๆ แล้วการ Differentiation คือการหาค่า $k$ ที่ทำให้ $\frac{1}{3}$ เป็นรากซ้ำ

[mathstudent2]

ขอบคุณมากครับ

ผมลองอ่านในโลกอสมการแล้ว
แต่ยังงงๆอยู่เลย

[วิหก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ในระดับ ม. 6 ลองไปศึกษาได้
แค่นี้ก็น่าจะพอช่วยให้ทำโจทย์อสมการได้
เครื่องมือที่สำคัญที่ใช้ความรู้ระดับนี้ก็คงจะเป็น Jensen inequality ครับ
แต่ถ้าความรู้แคลคูลัสมากหน่อยก็อาจจะใช้อย่างอื่นได้ด้วยเช่น Lagrange Multiplier
จริงๆแล้วการพิสูจน์อสมการก็คือการหาค่าสูงสุด ต่ำสุด ของฟังก์ชันนั่นเองครับ

Jensen inequality เป็นยังไงเหรอครับพี่ nooonuii

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วิหก

Jensen inequality เป็นยังไงเหรอครับพี่ nooonuii

Jensen inequality เป็นอสมการที่ใช้กับฟังก์ชันนูน(Convex function) ครับ

ฟังก์ชันนูนคืออะไร ?

$\diamondsuit$ ถ้าอธิบายโดยใช้ความหมายทางเรขาคณิตจะหมายถึง
ฟังก์ชันซึ่งเส้นสัมผัสเส้นโค้งของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆในโดเมน
อยู่ใต้กราฟของเส้นโค้ง ณ บริเวณที่อยู่ใกล้จุดนั้นเสมอ

ตัวอย่างเช่น

$f(x)=x^2$ นิยามสำหรับทุกจำนวนจริง $x$

$f(x)=e^x$ นิยามสำหรับทุกจำนวนจริง $x$

$f(x)= -\sin{x}$ นิยามบนช่วง $[0,\pi]$

$\diamondsuit$ ถ้าอธิบายโดยใช้อนุพันธ์ก็เป็นฟังก์ชันซึ่งอนุพันธ์อันดับสองไม่เป็นลบที่ทุกจุดในโดเมน

ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตรงข้ามกับฟังก์ชันนูน ก็คือ ฟังก์ชันเว้า (Concave function)
ซึ่งสามารถทำให้เป็นฟังก์ชันนูนได้โดยการเติมเครื่องหมายลบให้กับฟังก์ชันเดิม

Jensen inequality

ถ้า $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันนูน แล้ว สำหรับ $x_1,...,x_n\in[a,b]$ และ $w_1,...,w_n\in [0,1]$ ซึ่ง $w_1+\cdots+w_n=1$ จะได้ว่า $$f(w_1x_1+\cdots +w_nx_n)\leq w_1f(x_1)+\cdots +w_nf(x_n)$$

อสมการนี้สามารถพิสูจน์อสมการสำเร็จรูปหลายอย่างที่เราใช้กันอยู่ในระดับมัธยมครับ
ไม่ว่าจะเป็น AM-GM, Weighted AM-GM, Power Mean, Triangle inequality

คร่าวๆแค่นี้นะครับ ผมก็ไม่ค่อยได้ใช้อสมการนี้เท่าไหร่

[วิหก]

ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii