|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ระบบสมการ 3 ตัวแปร (คนหัวโบราณ)
หนังสือเลขเล่มนี้ ใช้เรียนกันในโรงเรียนระดับมัธยมปลายประมาณปี พศ.2505
แต่แทบไม่อยากจะเชื่อเลยว่ามันเป็นหนังสือที่ใช้กันในโรงเรียนทั่วไป เนื่องจากเมื่อผมเปิดอ่านในหนังสือโดยเฉพาะเรื่องการแก้สมการผู้แต่งเขียนได้ละเอียดมากมีการแก้สมการหลากหลายรูปแบบที่ไม่เคยเห็นมาก่อ น แถมยังมีสูตรลัดให้ใช้อีก พร้อมทั้งบอกที่มาของสูตรลัดด้วยว่ามาได้อย่างไร (หนังสือแบบเรียนปัจจุบันอ่านแล้วสู้ไม่ได้เลย ในแนวทางของการพิสูจน์ที่มา) วันนี้กระผมจึงขอนำเสนอโจทย์ระบบสมการ 3 ตัวแปร ให้ท่านผู้อ่านทั้งหลายได้ลองขบคิดกันก่อน ว่าท่านทั้งหลายได้ใช้แนวทางในการแก้ปัญหาอย่างไร NOTE! โจทย์นั้นไม่ยาก แต่การแก้ปัญหาให้ดูสวยงามเนี่ยสิยากกว่า (ในมุมมองของผมเองนะครับ) ตัวกระผมขอใช้นามแฝงว่า คนหัวโบราณ
__________________
JUST DO IT |
#2
|
|||
|
|||
http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1290145698
จาก $x+y = z$ แทนลงในสมการที่ (2) $3x+2y = z $ $3x+2y = x+y$ $ 2x+y = 0$ __* สมการที่(1) ยกกำลังสองจะได้ $x^2+2xy+y^2 = z^2$ แทนลงใน (3) $4x^2-3y^2+8z^2 = 0$ $4x^2-3y^2+8(x^2+2xy+y^2) = 0$ $12x^2+16xy+5y^2 = 0$ $(6x+5y)(2x+y) = 0 $ $ x = \frac{-y}{2} , \frac{-5y}{6}$ แทน x ลงใน __* จาก $2x+y = 0$ Case I $2(\frac{-y}{2}) +y = 0$ $ -y +y = 0 $ เป็นจริงเสมอ Case II $2(\frac{-5y}{6}) + y = 0$ $ y -\frac{5y}{3} = 0$ $ y = 0 $ จาก (1)$ x+y = z $ และจาก $ 2x+y = 0$ นำสมการลบกันจะได้ว่า $ x = -z$ ทำไปทำมา ได้ (0,0,0) งงครับ รบกวนเฉลยที 19 พฤศจิกายน 2010 14:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -Math-Sci- |
#3
|
||||
|
||||
$x+y=z$........(1)
$3x+2y-z=0$..........(2) $4x^2-3y^2+8z^2=0$..........(3) จาก(1)และ(2) $x+y=3x+2y \rightarrow y=-2x$ นำ$y$ ไปแทนใน(1) $x=-z \rightarrow y=2z$ $4z^2-12z^2+8z=0$ $z^2-z=0\rightarrow z(z-1)=0$ $z=0,1$ $z=0,y=0,x=0$ $z=1,y=2,x=-1$ นี่คงเป็นวิธีทำแบบธรรมดา $(x+y)^2=z^2$ $(3x+2y)^2=z^2$ $(x+y)^2=(3x+2y)^2$ $(3x+2y)^2-(x+y)^2=(4x+3y)(2x+y)=0$ $y=-2x,y=-\frac{4x}{3} $ $y=-\frac{4x}{3},x=-3z \rightarrow y=4z$ $36z^2-48z^2+8z^2= -4z^2=0 \rightarrow z=0$ หรือว่าใช้กฎการคูณไขว้หาอัตราส่วนของ$x:y:z$ อยากเห็นวิธีแก้โจทย์สวยๆบ้างครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 19 พฤศจิกายน 2010 14:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#4
|
|||
|
|||
#3 ขอบคุณ อากิตติ ครับ เก็ทแล้ว
|
#5
|
|||
|
|||
วิธีที่ทำมาก็ใช้ได้ครับ
ลองดูอีกนิดว่าถ้าเปลี่ยนเงื่อนไขของโจทย์จะมีวิธีที่ดูดีกว่านี้อีกไหม หลังจากข้อนี้แล้วเดี๋ยวผมจะเฉลยวิธีสวย ๆ ให้ครับ เพราะถ้าบอกวิธีลัดไปแล้วข้อแรกเราจะมองไม่เห็นประโยชน์ของสูตรลัดนี้ เทพหลายคนในเว็บนี้อาจเคยเห็นสูตรลัดที่เรียกว่ากฎของการคูณไขว้ซึ่งที่ผมอ่านเจอมีทั้งในระบบสมการ 2 ตัวแปร และในระบบสมการ 3 ตัวแปร ที่มั่นใจมากคือในระบบสมการ 2 ตัวแปรนั้น มีการเรียนการสอนกันที่อินเดียในระดับ ม.ต้น (ติวเตอร์ของบ้านเราก็มี) ส่วนสูตรลัดที่ผมอ่านเป็นการพิจารณาปัญหาที่ว่าถ้ามีระบบสมการ 3 ตัวแปร Ax+By+Cz=0 และ Dx+Ey+Fz=0 อยู่ในระบบที่เราพิจารณา เราจะสามารถหาความสัมพันธ์ของ x ,y และ z เพื่อนำไปช่วยในการแก้ปัญหาได้อย่างไร ๖วิธีช่างดูเรียบง่าย แต่ให้ผมคิดเองก็คงทำไม่ได้ คนคิดช่างว่างและเก่งเหลือเกิน) ยังไงลองทำดูก่อนนะครับ
__________________
JUST DO IT |
#6
|
||||
|
||||
จาก $Ax+By+Cz=0$ และ $Dx+Ey+Fz=0$ เขาแปลงเป็นแบบนี้หรือเปล่าครับ
$\frac{A}{C}x+\frac{B}{C}y+z=0 $........(1) $\frac{D}{F}x+\frac{E}{F}y +z=0$........(2) (1)-(2) $(\frac{A}{C}-\frac{D}{F})x+(\frac{B}{C}-\frac{E}{F})y =0$ $(\frac{A}{C}-\frac{D}{F})x=(\frac{E}{F}-\frac{B}{C})y$ $\dfrac{x}{y} = \dfrac{(\frac{E}{F}-\frac{B}{C})}{(\frac{A}{C}-\frac{D}{F})} $ ลองแปลเป็นตัวหนังสือได้ว่า $\frac{E}{F}-\frac{B}{C}$ คือ การเอาอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$y$มาหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ $z$ ในสมการที่สองลบด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$y$มาต่อสัมประสิทธิ์ของ $z$ จากสมการที่หนึ่ง และ $\frac{A}{C}-\frac{D}{F}$ คือ การเอาอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$x$มาหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ $z$ ในสมการที่หนึ่งลบด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของ$x$มาต่อสัมประสิทธิ์ของ $z$ จากสมการที่สอง เช่นเดียวกันเราอยากขจัดตัวแปรไหนก็ใช้วิธีนี้.....ไม่รู้ว่าจะเดาทางถูกไหมครับ....
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 20 พฤศจิกายน 2010 09:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
|
|