ตรีโกณ + อนุกรม

[Lekkoksung]

ถ้า $1+\cos^2 \theta+cos^4 \theta+...=a$ เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม
แล้ว $\cos(\pi -2\theta)\sin(\frac{\pi}{2}-2 \theta)$ เท่ากับเท่าใด ตอบในพจน์ของ a
ช่วยหน่อยน่ะครับ

[หยินหยาง]

$\frac{4}{a}-\frac{4}{a^2}-1$

[Lekkoksung]

ผมขอดูขบวนการความเป็นมาของคำตอบได้มั้ยครับ คือเห็นแต่คำตอบแล้วมันยังไงก็คงไม่เข้าใจน่ะครับ
ช่วยหน่อยน่ะครับ

[หยินหยาง]

$1+\cos^2 \theta+cos^4 \theta+...=a$ เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม
สมการข้างบนเป็นอนุกรมเรขาคณิต ถ้าให้ $0<r=\cos^2 \theta < 1$ เนื่องจากเป็นอนุกรมอนันต์ ลู่เข้า a ดังนั้น ก็จะหา $\cos^2 \theta$ ในเทอมของ a ได้ ต่อจากนั้นก็ไปหาความสัมพันธ์ของ $\cos(\pi -2\theta)\sin(\frac{\pi}{2}-2 \theta)$ ให้อยู่ในรูปของ $\cos^2 \theta$ แล้วแทนค่าก็จะได้คำตอบ
เนื่องจาก $\cos^2 \theta$ สามารถเป็น 0 ได้จึงต้องคิดกรณนี้ีด้วย ซึ่งเห็นได้ชัดว่ากรณีนี้ a = 1 และ $\theta = 2n\pi +\frac{\pi}{2}$ แล้วนำ $\theta $ ไปแทนใน $\cos(\pi -2\theta)\sin(\frac{\pi}{2}-2 \theta)$ ก็จะได้คำตอบ แต่จากคำตอบของกรณีที่หนึ่ง $\frac{4}{a}-\frac{4}{a^2}-1$ ก็สามารถครอบคลุมกรณีที่ 2 ด้วยเมื่อ a = 1 ครับ

[Lekkoksung]

ขอบคุณครับ
หายสงสัยแล้ว