สมการ

[mercedesbenz]

1. กำหนดให้ $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+y}}}=y$
และ $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+x}}}=x$ จงหาค่า $x, y$
2. $$\sqrt{x-2-6\sqrt{x-11}}+\sqrt{x+5-8\sqrt{x-11}}=1$$ จงหาค่า $x$
3. $$\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-5x+10}=\sqrt{x^2+9x-11}+\sqrt{x^2-7x+13}+\sqrt{x^2-3x+7}$$ จงหาค่า $x$

[Lekkoksung]

ข้อ 2.
ให้ $u=\sqrt{x-11}$ จะได้ว่า $u^{2}+9=x-2$ และ $u^{2}+16=x+5$
จากโจทย์จะได้
$$\sqrt{u^{2}-6u+9}+\sqrt{u^{2}-8u+16}=1$$
$$\sqrt{(u-3)^{2}}+\sqrt{(u-4)^{2}}=1$$
$$|u-3|+|u-4|=1$$
เนื่องจาก $u \geqslant 0$ ดังนั้น
$$2u-7=1$$
$$2u=8$$
$$u=4$$
แต่ $u=\sqrt{x-11}$ แทนค่า $u=4$
$$4=\sqrt{x-11}$$
$$16=x-11$$
$$x=27$$
แทนค่าลงในสมการหลัก ซึ่ง $x=27$ เป็นจริง ดังนั้น $x=27$ เป็นคำตอบของสมการ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

1. กำหนดให้ $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+y}}}=y$
และ $\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+x}}}=x$ จงหาค่า $x, y$
2. $$\sqrt{x-2-6\sqrt{x-11}}+\sqrt{x+5-8\sqrt{x-11}}=1$$ จงหาค่า $x$
3. $$\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-5x+10}=\sqrt{x^2+9x-11}+\sqrt{x^2-7x+13}+\sqrt{x^2-3x+7}$$ จงหาค่า $x$

1. แทนค่า $y$ ลงไปฝั่งซ้ายของสมการซ้ำไปเรื่อยๆได้ $y=\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}$

ในทำนองเดียวกัน $x=\sqrt{y+\sqrt{y+\cdots}}$

ดังนั้น $y^2=x+y$ และ $x^2=y+x$

$x^2=y^2$

แต่ $x,y\geq 0$

ดังนั้น $x=y$

จึงได้ $x^2=2x$

$x=0,2$

ดังนั้น $(x,y)=(0,0),(2,2)$

2. ทำเหมือนคุณ Lekkoksung

แต่ตรง $|u-3|+|u-4|=1$

ผมได้ว่า $u\in [3,4]$

ดังนั้นคำตอบคือ $[20,27]$

3. ให้

$a=x^2+9x-11$

$b=x^2-7x+13$

$c=x^2-3x+7$

จะได้

$a+b=2(x^2+x+1)$

$b+c=2(x^2-5x+10)$

$c+a=2(x^2+3x-2)$

ดังนั้นจะได้สมการ

$\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{2}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{2}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c}$

แต่

$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}\leq 2\sqrt{a+b}$

$\sqrt{2b}+\sqrt{2c}\leq 2\sqrt{b+c}$

$\sqrt{2c}+\sqrt{2a}\leq 2\sqrt{c+a}$

จากอสมการ AM-GM หรือ Cauchy-Schwarz

บวกทุกอสมการได้

$\sqrt{2a}+\sqrt{2b}+\sqrt{2c} \leq \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a=b=c$

ดังนั้น

$x^2+9x-11 = x^2-7x+13 = x^2-3x+7$

แก้สมการได้ $x=\dfrac{3}{2}$

[@deknaew@หัดคิด@]

ช่วยแสดงวิธีทำหน่อยนะครับ Please!

3(a)(a)+3(a)(b)+3(b)(b) = 75
(b)(b)+3(c)(c) = 27
2(c)(c)+2(c)(a)+2(a)(a) = 32
จงหา ab+2bc+3ca