ปัญหาข้อที่ 9

[TOP]

มีคนตอบปัญหาได้มากขึ้นทุกที คาดว่าภายในหนึ่งสัปดาห์คงมีผู้เฉลยแบบละเอียดสำหรับทุกข้อ เหลือแต่ข้อที่ต้องใช้แรงงานนิดหน่อย (สงสัยไม่ชอบทำกัน) จึงขอเพิ่มปัญหาให้อีกสัก 2 ข้อ

กำหนดให้ f(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรี 98 และ f(k) = 1/k ; k = 1,2,3,...,99 จงหาค่าของ f(100)

1/50

[TOP]

ถูกต้องครับ จะมีใครแสดงเป็นวิธีทำให้ดูหรือเปล่า ?

[gon]

ผมจะเฉลยในรูปทั่วไปล่ะกันนะครับ.
กำหนดให้ f(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรี n และ f(k) = 1/k ; k = 1,2,3,...,n+1 จงหาค่าของ f(n+2)

เนื่องจาก f(x) = 1/x
ดังนั้น x f(x) - 1 = 0
ให้ Q(x) = x f(x) - 1
เนื่องจาก f(x) มีดีกรี n ดังนั้น Q(x) มีดีกรี n+1
ดังนั้น โดยทฤษฎีบทหลักมูล ของพหุนาม
ซึ่งกล่าว พหุนามใด ๆ (ไม่ว่าจะเป็นพหุนามเชิงซ้อน,จำนวนจริง,จำนวนเต็ม)
จะสามารถแยกตัวประกอบในรูปของ

a_n(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)

เมื่อ f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... +a₁x + a₀
และ a_i เป็นคำตอบทั้งหมดของพหุนาม
แสดงว่า เราสามารถเขียน Q(X) ว่า
x f(x) - 1 = C(x-1)(x-2)....(x-(n+1)) ....(1)
เมื่อ แทน x = 0 ; จะได้ว่า -1 = C(-1)(-2)(-3)...-(n+1)
ดังนั้น C = (-1)ⁿ / (n+1) ! ....(2)
ดังนั้นเมื่อแทน x = n +2 ลงใน (1) และ C จาก (2) จะได้ว่า

(n+2) f(n+2) = [(-1)ⁿ / (n+1) ! ] * (n+1)(n)(n-1) .... (1)
ดังนั้น f(n+2) = [ (-1)ⁿ + 1 ] / n+2

เมื่อ แทน n = 98 จะได้เป็น f(100) = (1+1) / 100 = 1/50 Ans