อยากรู้วิธีการหา [:lamda] จาก det ([:lamda]I-A)=0

[rada]

โดยที่ Iเป็นmatrix เอกลักษณ์ (Aเป็นmatrix)

A=
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

[nooonuii]

ใช้การหา determinant ของ matrix โดยการกระจาย cofactor ก็น่าจะโอเคครับ

อีกวิธีนึงที่ผมใช้บ่อยแต่อาจจะเข้าใจยากซักนิด คือ ใช้การดำเนินการตามแถวและหลักเพื่อทำให้เป็น triangular matrix ครับ โดยทำให้สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 1 ให้มากที่สุด โดยทั่วไปจะเลือกให้เรียงลงมาจากบนลงล่างครับ จริงๆอยู่ตรงตำแหน่งไหนก็ได้ครับแต่จะยุ่งยากในการเขียน Algorithm ให้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยคิดเขาก็เลยทำให้เป็นระบบเดียวกันเพื่อความสะดวก ที่เหลือก็ให้เป็นพหุนามในตัวแปร $\lambda$ โดยเรียงตามลำดับของกำลังของพหุนาม แต่ต้องระวังเรื่องการคูณและหารด้วยเทอมที่ติดตัวแปร $\lambda$ ครับ เพราะเราไม่ได้อยู่ในโลกของ matrix ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงอีกต่อไป (สมาชิกเป็นพหุนามในตัวแปร $\lambda$ ครับซึ่งการหารด้วยเทอมที่ติดตัวแปร $\lambda$ ใช้ไม่ได้) กระบวนการนี้เป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการหา Smith Normal Form ของ matrix ครับ ซึ่งเอาไว้ใช้หา Jordan Form อีกที อธิบายไปอาจจะเข้าใจยาก ลองทำให้ดูเลยดีกว่าครับ

1. เริ่มจาก $det(A-\lambda I)$ ใช้ $det(\lambda I - A)$ ก็ได้ตามแต่สะดวกครับ ในกรณีนี้ต้องการเลี่ยง -1 เยอะๆ ก็เลยไม่ใช้ $det(\lambda I - A)$

$\left|
\begin{array}{cccc}
-\lambda & 1 & 1 & 1 \\
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
1 & 1 & -\lambda & 1 \\
1 & 1 & 1 & -\lambda \\
\end{array}
\right|$

2. ทำให้สมาชิกในตำแหน่ง (1,1) เป็น 1 (ขอเรียกสมาชิกในตำแหน่ง (k,k) ว่าตัวยืนนะครับ ) โดยการสลับแถวที่หนึ่งกับแถวที่สอง (อย่าลืมว่าค่า determinant ไม่เปลี่ยนถึงแม้เราจะสลับแถวเพราะค่า determinant = 0 อยู่ ถ้าตัวยืนไม่เป็น 1 สามารถทำให้เป็น 1 ได้โดยการหารทั้งแถวด้วยตัวยืนนั้น ซึ่งค่า determinant ก็ยังไม่เปลี่ยนครับ)
ข้อควรระวัง : เลือก 0 เป็นตัวยืนไม่ได้ครับ ดูเหตุผลในข้อ 4
$\left|
\begin{array}{cccc}
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
-\lambda & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -\lambda & 1 \\
1 & 1 & 1 & -\lambda \\
\end{array}
\right|$

3. ทำให้สมาชิกในหลักที่ 1 เป็นศูนย์หมดยกเว้นตัวยืน
ใช้ $\lambda R_1 + R_2 \to R_2$, $-R_1+R_3\to R_3, -R_1 + R_4\to R_4$

ข้อควรระวัง : แถวที่เราจะเอาไปเก็บไว้หลังจากทำ row operation ห้ามคูณด้วยเทอมที่ติดตัวแปร $\lambda$ ครับ เช่น $R_1 + \lambda R_2 \to R_2$ ใช้ไม่ได้ครับ

$\left|
\begin{array}{cccc}
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
0 & -(\lambda ^2 - 1) & \lambda + 1 & \lambda + 1 \\
0 & \lambda + 1 & -(\lambda + 1) & 0 \\
0 & \lambda + 1 & 0 & -(\lambda +1) \\
\end{array}
\right|$

4. หลักแรกเสร็จแล้วครับ เริ่มหลักที่สองต่อโดยให้ตัดแถวที่ 1 หลักที่ 1 ออกไปก่อนเพื่อหาสมาชิกตัวใหม่ที่จะนำมาเป็นตัวยืนในตำแหน่ง (2,2) ในที่นี้จะพบว่า $\lambda + 1$ เป็นสมาชิกที่มีกำลังของพหุนามน้อยสุด จึงเลือกเอาตัวนี้เป็นตัวยืน (ใช้ -(\lambda + 1) ก็ได้ครับแต่ผมไม่ชอบเลขติดลบ)
ใช้การสลับแถวหรือหลักเพื่อให้ $\lambda + 1$ ไปอยู่ที่ตำแหน่ง (2,2) ครับ ในที่นี้ผมเลือกสลับแถวที่สองกับสาม
ข้อควรระวัง : เลือก 0 มาเป็นตัวยืนไม่ได้ครับ เพราะ 0 ถูกมองให้เป็นพหุนามศูนย์ซึ่งสมมติให้มีกำลังเป็นอนันต์

$\left|
\begin{array}{cccc}
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
0 & \lambda + 1 & -(\lambda + 1) & 0 \\
0 & -(\lambda ^2 - 1) & \lambda + 1 & \lambda + 1 \\
0 & \lambda + 1 & 0 & -(\lambda +1) \\
\end{array}
\right|$

5. ทำให้สมาชิกในหลักที่สองที่อยู่ล่างตัวยืนเป็นศูนย์(ข้างบนไม่ต้องไปสนใจแล้วครับเพราะเราอยากได้แค่สามเหลี่ยมล่างเป็นศูนย์ก็พอ) ใช้ $(\lambda - 1)R_2 + R_3 \to R_3, -R_2 + R_4 \to R_4$

$\left|
\begin{array}{cccc}
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
0 & \lambda + 1 & -(\lambda + 1) & 0 \\
0 & 0 & -(\lambda + 1 )(\lambda - 2)& \lambda + 1 \\
0 & 0 & \lambda + 1 & -(\lambda +1) \\
\end{array}
\right|$

6. หลักที่สองเสร็จเรียบร้อย ก็เริ่มหลักที่สามต่อ คราวนี้หาตัวยืนโดยตัดแถวที่1,2 กับหลักที่ 1,2 ออกไปก่อน แล้วเลือกตัวยืนจากที่เหลือครับ ก็ได้ $\lambda + 1$ อีก ก็สลับแถวที่สามกับสี่ครับคราวนี้

$\left|
\begin{array}{cccc}
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
0 & \lambda + 1 & -(\lambda + 1) & 0 \\
0 & 0 & \lambda + 1 & -(\lambda +1) \\
0 & 0 & -(\lambda + 1 )(\lambda - 2)& \lambda + 1 \\
\end{array}
\right|$

7. ทำเหมือนข้อ 5 กับหลักที่สาม ครับ ใช้ $(\lambda - 2)R_3 + R_4 \to R_4$

$\left|
\begin{array}{cccc}
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
0 & \lambda + 1 & -(\lambda + 1) & 0 \\
0 & 0 & \lambda + 1 & -(\lambda +1) \\
0 & 0 & 0 & (\lambda + 1)(3 - \lambda) \\
\end{array}
\right|$

8. จริงๆเสร็จตั้งแต่ข้อ 7 แล้วครับ แต่อยากได้แถวที่สี่ที่ดูง่ายกว่า $-R_4 \to R_4$

$\left|
\begin{array}{cccc}
1 & -\lambda & 1 & 1 \\
0 & \lambda + 1 & -(\lambda + 1) & 0 \\
0 & 0 & \lambda + 1 & -(\lambda +1) \\
0 & 0 & 0 & (\lambda + 1)(\lambda - 3) \\
\end{array}
\right|$

จบแล้วครับได้ $det(A - \lambda I) = (\lambda + 1)^3 (\lambda - 3) = 0$
จึงได้ $\lambda = -1,-1,-1,3$

ข้อดี :

1. ไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบ characteristic polynomial ให้ยุ่งยากครับ เพราะวิธีนี้จะช่วยแยกตัวประกอบให้ด้วย เราสามารถหาค่า $\lambda$ ได้อย่างง่ายดาย

2. matrix ที่ได้จะบอกข้อมูลอีกหลายอย่างที่เราอยากรู้ครับ เช่น ทำให้เป็น matrix เฉียงได้หรือไม่ มี Jordan Form หน้าตาแบบไหน เป็นต้น

ข้อเสีย : ตอนแรกๆจะยุ่งยากในการคำนวณครับ เพราะมีกฎและข้อห้ามเยอะพอสมควร แต่ถ้าใช้จนคล่องแล้วผมว่าจะช่วยลดความยุ่งเหยิงในการคำนวณ determinant ด้วยวิธีธรรมดา และ ขจัดการแยกตัวประกอบพหุนามไปได้ด้วยครับ