โจทย์การนับคู่อันดับครับ

[Keehlzver]

นิยาม $A=\left\{\,1,2,3,...,100\right\}$
จงหาจำนวนวิธีในการสร้างคู่อันดับ $(i,j,k)$ โดยที่ ห.ร.ม.ของ $i,j,k=1$ และ $i,j,k \in A$

และถ้าหากว่าขยายเป็น $A=\left\{\,1,2,3,...,n\right\}$ จะนับอย่างไร

ขอความกรุณาด้วยครับ

[Amankris]

ลองใช้ Recurrent ไหม


ปล. มี Closed Form หรือครับ

[Keehlzver]

ผมก็ไม่รู้เหมือนกันครับ แต่งโจทย์ขึ้นมาทำเอง แต่ผมยังหาวิธีแก้ไม่ได้ครับ (ผมไม่มีทักษะ recurrence relation เลยครับ) ส่วน close form นั้นคิดว่าไม่น่าจะมี

[Amankris]

ลองสมมติ

$x_n$ เป็นจำนวนชุดอันดับ $(i,j,k)$ โดยที่ $\gcd (i,j,k)=1$ และ $\left\{i,j,k\right\}\subseteq\left\{1,2,3,...,n\right\}$
$y_n$ เป็นจำนวนชุดอันดับ $(i,j,k)$ โดยที่ $\gcd (i,j,k)>1$ และ $\left\{i,j,k\right\}\subseteq\left\{1,2,3,...,n\right\}$

[Keehlzver]

เอากรณีทั่วๆไปเลยเหรอครับ กรณี $n=100$ ผมยังแก้ไม่ได้เลย และก็ยังมองไม่ออกด้วยว่าเป็น Recurrence ตรง
ไหน

[Amankris]

$y_n=x_{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}+x_{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}+\cdots+x_{1}$