ขอคำแนะนำโจทย์พาราโบลาครับ

[{([Son'car])}]

มึนตึ๊บจริงๆครับ

[กิตติ]

โจทย์กำหนดให้ $f(x)= Ax^2+Bx+C$....โจทย์กำหนดให้$x_1,x_2$เป็นรากของสมการ
ลองใช้ความรู้การแก้สมการกำลังสองดู จากสมการ$ax^2+bx+c=0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
ให้$x_1= \frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$ และ$x_2= \frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$
เนื่องจาก$0<x_1,x_2<1$ และ $B^2-4AC >0$
$\frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A} <1$
$-B+\sqrt{B^2-4AC} < 2A \rightarrow \sqrt{B^2-4AC} < 2A+B$...ลองยกกำลังสองดู
$B^2-4AC < 4A^2+4AB+B^2$
$4A^2+4A(B+C) >0$
$A(A+B+C) >0$

อีกแบบหนึ่งที่คิดได้
$x_1+x_2 = -\frac{B}{A} $........(1)
$x_1\times x_2 = \frac{C}{A}$..........(2)
จาก(2) $x_1= \frac{C}{A\times x_2} $
แทน$x_1$ลงใน(1)$\frac{C}{A\times x_2}+x_2 = -\frac{B}{A}$
$Ax_2^2+Bx_2+C=0$
$x_2 = \frac{-B\pm \sqrt{(AB)^2-4AC} }{2A} $

ขอติดไว้เท่านี้ก่อน ถ้าไม่ติดอะไรเดี๋ยวเข้ามาคิดต่อ มึนครับมึน

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ผมคิดได้ช่วง $( -\infty , 0 )$ ครับ แต่ผมว่าอาจจะุถึง $(0 , \frac{1}{\sqrt{2}})$ ครับ แต่ผมไม่แน่ใจนะครับ

ทำยังไงถึงได้$( -\infty , 0 )$อะครับ ก็Aเป็นจำนวนเต็มบวกอะครับ

ขอวิธีคิดหน่อยครับ

[{([Son'car])}]

ขอบคุณนะครับที่ช่วยแสดงแนวคิด

แล้วมันตอบไรกันแน่นี่

[กิตติ]

จากข้างต้นโจทย์กำหนดให้รากสมการเป็นบวก แต่มีค่าน้อยกว่า 1 คือเป็นเศษส่วน
เราจะได้ว่า$0<\frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}, \frac{-B-\sqrt{B^2-4AC}}{2A}<1 $
ค่า$b<0$...เพื่อให้รากทั้งสองเป็นบวก
เราคงค่อยๆขีดวงค่าลงมาเรื่อยๆ เพื่อกำหนดสภาวะที่ทำให้รากเป็นตามโจทย์ต้องการ
เดี๋ยวมาเขียนต่อ

[กิตติ]

จริงๆผมก็ยังไม่ได้คำตอบหรอกครับ ได้แค่ขอบเขตเฉยๆ
เงื่อนไขข้อต่อมา...$B^2-4AC > 0 \rightarrow$ $A<\frac{B^2}{4C} $
จาก$0<x_1<1$ และ $0<x_2<1$
จะได้ว่า$0<x_1+x_2<2$ และ $0<x_1x_2<1$
$x_1+x_2= -\frac{B}{A} $ และ $x_1x_2 = \frac{C}{A} $ แทนลงไปในขอบเขต
$0<-\frac{B}{A}<2 \rightarrow 0<B+2A<2A$
$0<\frac{C}{A}<1 \rightarrow 0<C<A , A-C>0$
เงื่อนไขต่อมาคือ $C>0$
ครั้งก่อนได้ว่า$B<0$

ยังคิดได้เท่านี้ครับ เพราะจะหาขอบเขตA ต้องกำหนดขอบเขตค่าBกับC คงไม่ได้มีAที่ใช้ได้กับทุกค่าของBและC
ไม่รู้ว่าเจ้าของโจทย์ไปหยิบโจทย์มาจากไหนวานบอกหน่อยเถอะครับ

[{([Son'car])}]

เป็นตอนที่2ข้อ1ตามลิ้งค์ครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...0104#post10104

[Onasdi]

เราต้องการหา $A$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข $A>0$ และ $0<\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}<1$ และ $B^2-4AC>0$
ควรเริ่มจากแปลงเงื่อนไขให้ง่ายลง และจะพยายามรักษาความสมมูลของเงื่อนไขไว้ด้วย (คือการทำให้เป็น "ก็ต่อเมื่อ" อะครับ)


$A>0$ และ $0<\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}<1$ และ $B^2-4AC>0$


ก็ต่อเมื่อ $A>0$ และ $0<-B\pm\sqrt{B^2-4AC}<2A$ และ $B^2-4AC>0$
(คูณ 2A ตลอด ได้เพราะ A>0)


ก็ต่อเมื่อ $A>0$ และ $0<-B-\sqrt{B^2-4AC}$ และ $-B+\sqrt{B^2-4AC}<2A$ และ $B^2-4AC>0$
(เพราะ $-B-\sqrt{B^2-4AC}<-B+\sqrt{B^2-4AC}$)


ก็ต่อเมื่อ $A>0$ และ $\sqrt{B^2-4AC}<-B$ และ $B<0$ และ $\sqrt{B^2-4AC}<2A+B$ และ $2A+B>0$ และ $B^2-4AC>0$
(ย้ายข้างและเพิ่มเงื่อนไขที่ได้จาก $\sqrt{B^2-4AC>0}$)


ก็ต่อเมื่อ $A>0$ และ $4AC>0$ และ $B<0$ และ $4A^2+4AB+4AC>0$ และ $2A+B>0$ และ $B^2-4AC>0$
(ยกกำลังสอง ทำได้เพราะรู้ว่าทั้งสองฝั่งเป็นบวก)


ก็ต่อเมื่อ $A>0$ และ $C>0$ และ $B<0$ และ $A+B+C>0$ และ $2A+B>0$ และ $B^2-4AC>0$


$\boxed{สรุป~(A,B,C) ~สอดคล้องโจทย์ ~ก็ต่อเมื่อ~ \Big(A\in \mathbb{Z^+} ~และ~ C\in \mathbb{Z^+} ~และ~ B\in \mathbb{Z^-} ~และ~ A+B+C>0 ~และ~ 2A+B>0 ~และ~ B^2-4AC>0\Big)}$

ถ้าใครงงว่ามายังไง ก็สามารถทำได้อีกวิธีครับ คือจากโจทย์เราสามารถสรุปเงื่อนไขเหล่านี้ได้ และในทางกลับกัน ลองพิสูจน์ดูว่าเงื่อนไขเหล่านี้ก็ทำให้โจทย์เป็นจริงด้วย (เรียกว่าเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ)

______________________________________________________

ทีนี้ลองแทนค่าคร่าวๆดูว่าเราทำให้ A เป็นอะไรได้มั่ง
ลองให้ $C=1$ และ $B=-A$ จะเห็นว่าเงื่อนไขจะลดลงเหลือ $A>0$ และ $A^2>4A$
นั่นคือ $A\ge 5$ ซึ่งแปลว่า $A$ สามารถเป็น $5,6,7,...$ ได้
ถ้าไม่เชื่อ ก็ลองตรวจสอบดูครับว่า $Ax^2-Ax+1$ มีสมบัติตามที่โจทย์ต้องการ สำหรับ $A=5,6,7,...$

ลองแทนค่าต่ิอไปเรื่อยๆจะเริ่มเห็นว่า $A$ ไม่น่าจะเป็น $1,2,3,4$ ได้
ทีนี้ก็ต้องพิสูจน์ข้อความนี้ครับ ลองดูนะครับ

[กิตติ]

คุณOnasdiครับ ถ้าเราลองสมมุติให้$x_1=\frac{a}{b} $ กับ $x_2=\frac{c}{d} $แล้วมันจะพาไปหาข้อสรุปที่ขีดวงลงได้อีกไหมครับ...เดี๋ยวคืนนี้ผมลองนั่งคิดในกระดาษดูก่อน คืนนี้เห็นท่าจะไม่ได้เข้ามาอีก ผมรู้สึกติดอกติดใจอะไรกับโจทย์ข้อนี้ไม่รู้ มันคันยุบยิบในหัวใจถ้าไม่เห็นคำตอบ

[Onasdi]

ผมคิดว่าอาจจะไม่ช่วยครับ เพราะคำตอบอาจจะไม่ได้อยู่ในรูปเศษส่วน(อาจเป็นจำนวนอตรรกยะ) แถมจำนวนตัวแปรจะยิ่งเพิ่มขึ้นอีก

[{([Son'car])}]

แล้วเราจะมีหลักในการสมมุติค่าพวกนี้ที่ว่า B=-A , C=1 มายังไงอะครับ

[Onasdi]

หลักคือพยายามแทนให้เลขออกมาง่ายที่สุด (เช่นแทน 1) แต่ก็ไม่ต้องแทนให้ง่ายจนเกิดไป เพราะจะทำให้ได้ตัวอย่างออกมาน้อยเกินไป

ผมเริ่มที่แทน $C=1$ แล้วก็ดูว่าได้อสมการออกมาเป็นยังไง แล้วก็ค่อยลองดูว่า A,B จะสัมพันธ์กันยังไงดี

[poper]

ผมลองใช้กราฟดูแล้วจะได้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือ
$1) f(0)>0$
$2) 0<-\frac{B}{2A}<1$
$3) B^2-4AC>0$
$4) f(1)>0$
จะได้
$1) C>0$
$2) B<0$
$3) 0<A<\frac{B^2}{4C}$
$4) A>-(B+C)$
แล้วไงต่อครับ งง

[{([Son'car])}]

ขอบคุณพี่ๆมากเลยครับ

ผมเริ่มเข้าใจมาแล้วนิดๆ หุๆ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ผมลองใช้กราฟดูแล้วจะได้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือ
$1) f(0)>0$
$2) 0<-\frac{B}{2A}<1$
$3) B^2-4AC>0$
$4) f(1)>0$
จะได้
$1) C>0$
$2) B<0$
$3) 0<A<\frac{B^2}{4C}$
$4) A>-(B+C)$
แล้วไงต่อครับ งง

โอ้ เยี่ยมครับ

เงื่อนไขได้ออกมาชุดเดียวกับผมเลยครับ ลองแทนเลขอย่างที่ผมบอก แล้วจะได้ว่า A เป็น 5,6,7,... ได้
ต่อจากนั้นก็ต้องพิสูจน์ว่า A เป็น 1,2,3,4 ไม่ได้ คิดว่าไล่ๆดูน่าะง่ายที่สุด