พีชคณิต 6

[ปากกาเซียน]

จงหารากของ$ x^7+x^4+x^3+x+1=0$

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

จงหารากของ$f(x)=x^7+x^4+x^3+x+1=0$

ให้ $\omega$ เป็นรากสมการที่ไม่ใช่ 1 ของ $x^5=1$ หรือก็คือ รากสมการ $x^4+x^3+x^2+x+1=0$

ลองแทนลงในสมการเดิมพบว่า $f(\omega)=\omega^2(\omega^5)+\omega^4+\omega^3+\omega+1=0$

นั่นคือมี $\omega$ ทั้งสี่ตัวเป็นราก ก็จะได้ว่าแฟคเตอร์หนึ่งคือ $x^4+x^3+x^2+x+1$

แยกแฟคเตอร์ที่เหลือกำลังสามก็ใช้วิธีของ Cardano ออกครับ

(ดูแล้วท่าทางจะเป็นโจทย์ค่าย 2 สอวน.)

[Keehlzver]

มันคือโจทย์สอวน.มีนาปี 2554 ที่ผ่านมา
แยกตัวประกอบได้เป็น $(x^3-x^2+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0$

แก้ต่อวงเล็บแรกใช้คาร์ดาน วงเล็บหลังใช้จำนวนเชิงซ้อน

(ปล.ผมว่าโจทย์พวกนี้โพสต์ไว้ในกระทู้เดียวดีกว่ามั้งครับ )

[ปากกาเซียน]

คาร์ดาน คืออะไรครับช่วยบอกหน่อยครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

วิธีเเก้ สมการกำลังสามไงครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

มันคือโจทย์สอวน.มีนาปี 2554 ที่ผ่านมา

โอ๊ะ จะว่าไปตัวเองก็ผ่านมาแล้ว ลืมไปได้ไงเนี่ยๆๆๆ

แถมเขียนผิดด้วย ต้องค่ายสองสินะๆๆ ลืมอีกแล้ว =_=

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

คาร์ดาน คืออะไรครับช่วยบอกหน่อยครับ

ลองดูต่อไปนี้ก็ได้ครับ ปกติผมใช้วิธีนี้มาตลอด ซึ่ง(น่าจะ)ง่ายกว่าวิธีคาร์ดานโดยตรง (จริงๆก็เหมือนกันนั่นแหละ)

พิจารณาสมการ $x^3+3ax^2+3bx+c=0$

ที่ข้างหน้า $x^2,x$ ต้องเป็น $3a,3b$ ก็เพราะว่าจะได้ง่ายต่อการคำนวณ

จากนั้นก็ใช้การกระจายกำลังสามสมบูรณ์ $(x+a)^3=x^3+3ax^3+3a^2x+a^3$

หรือก็คือ $x^3+3ax^2=(x+a)^3-3a^2x-a^3$

แทนลงในสมการเดิมก็จะได้ $(x+a)^3-3a^2x-a^3+3bx+c=0$

จัดรูป $(x+a)^3=3(a^2-b)x+(a^3-c)$

ลองสมมติว่า $x+a=m+n$ ก็จะได้ว่า $(x+a)^3=(m^3+n^3)+3(mn)(m+n)$

ซึ่งก็คือ $(x+a)^3=3(mn)(x+a)+(m^3+n^3)$

จึงเทียบ (แบบลัดๆ) ว่า $mn=a^2-b$ กับ $m^3+n^3=a^3-c$

แล้วก็แก้สมการหา $m,n$ ก็จะได้ $x=m+n-a$
_______________________________________________________________

เช่น หารากสมการ $x^3-3x^2-3x-1=0$

เนื่องจาก $(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$ จึงได้ว่า $[(x-1)^3-3x+1]-3x-1=0$

$(x-1)^3=6x$

$(x-1)^3=3(2)(x-1)+(6)$

สมมติว่า $x-1=m+n$ ก็จะได้ $(x-1)^3=3(mn)(x-1)+(m^3+n^3)$

เราก็แก้สมการ $mn=2$ และ $m^3+n^3=6$

ซึ่งเมื่อแก้สมการก็จะได้ $(m,n)=(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ กับจำนวนเชิงซ้อนอีกสองชุด ( ขี้เกียจหา )

($m,n$ สามารถสลับกันได้ ซึ่งก็ไม่มีผลอะไรต่อคำตอบที่ได้)

ฉะนั้นรากหนึ่งที่เป็นรากจริงก็คือ $x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$