ช่ายพิสูจน์อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบเข้ม

[surachet]

n!<n^n/2^n ,n >= 6

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ surachet

$n!<\left(\dfrac{n}{2}\right)^n,n\geq 6$

ขอแสดงเฉพาะขั้นอุปนัยนะครับ

สมมติว่า $n!<\left(\dfrac{n}{2}\right)^n$

จะต้องพิสูจน์ว่า

$(n+1)!<\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^{n+1}$

แต่ $(n+1)!=(n+1)n!<(n+1)\left(\dfrac{n}{2}\right)^n$

จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า

$(n+1)\left(\dfrac{n}{2}\right)^n<\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^{n+1}$

เมื่อตัดทอนเทอมที่เหมือนกันจะเหลือแค่พิสูจน์ว่า

$2n^n<(n+1)^n$

ซึ่งเป็นจริงจากทฤษฎีบททวินาม

$(n+1)^n=n^n+\binom{n}{n-1}n^{n-1}+\cdots+1>n^n+\binom{n}{n-1}n^{n-1}$

[surachet]

ขอบคุณครับ

[surachet]

อีกข้อครับ
n^n/3^n<n! , n>=6

[nooonuii]

ต้องอ้างตัวนี้ครับ

$(1+\frac{1}{n})^n<e<3$

ขั้นอุปนัยต้องพิสูจน์ว่า

$(\frac{n+1}{3})^{n+1}<(n+1)!$

แต่ $(\frac{n+1}{3})^{n+1}=(\frac{n+1}{n})^{n+1}(\frac{n}{3})^{n+1}<(\frac{n}{3})n!(\frac{n+1}{n})^{n+1}<(n+1)!$

[surachet]

ขอบคุณครับ