ตรีโกณมิติ

กำหนดให้ Xอยู่ในช่วง [0,45]องศา จงหาคำตอบของสมการ
(sin2X)^2+(sin3X)^2+(sin4X)^2+(sin9X)^2=2
อีกข้อคับ
sec[arctan(XX-6x-1)^1/2]=cosec[arccot(X^1/2)]-1

ข้อ 1.
เนื่องจาก cos2A=1-2(sinA)^2
(sinA)^2=(1-cos2A)/2
ดังนั้น 1-cos4X+1-cos6X+1-cos8X+1-cos18X=4
(cos4X+cos18X)+(cos6X+cos8X)=0
2cos11Xcos7X+2cos7XcosX=0
cos7X(cos11X+cosX)=0
กรณีแรก cos7X=0
cos7X=cos(Pi/2)
จะได้ว่า 7X=2nPi+Pi/2 , 7X=2nPi-Pi/2
X=2nPi/7+Pi/14 , X=2nPi-Pi/14
ค่า X ที่สอดคล้องคือ Pi/14
กรณีที่สอง cos11X+cosX=0
cosX=cos(Pi+11X) หรือ cosX=cos(Pi-11X)
Pi+11X=2nPi+X , Pi+11X=2nPi-X หรือ
Pi-11X=2nPi+X , Pi-11X=2nPi-X
X=(2n-1)Pi/10 , X=(2n-1)Pi/12 หรือ
X=-(2n-1)Pi/12 , X=-(2n-1)Pi/10
ค่า X ที่สอดคล้องคือ Pi/4,Pi/10,Pi/12
เพราะฉะนั้นคำตอบคือ Pi/4,Pi/10,Pi/12,Pi/14
ข้อ 2.
ให้ A=arctan(X^2-6X-1)^1/2 , B=arccot(X)^1/2
ดังนั้น (tanA)^2=X^2-6X-1 , (cotB)^2=X
เนื่องจาก (secA)^2-(tanA)^2=1 , (cosecB)^2-(cotB)^2=1
จะได้ว่า (secA)^2=X^2-6X .....(1) , (cosecB)^2=X+1 .....(2)
จากโจทย์ secA=cosecB-1
(secA)^2=(cosecB)^2-2cosecB+1
X^2-6X=X+2-2cosecB
X^2-7X-2=-2cosecB
X^4+49X^2+4-14X^3-4X^2+28X=4X+4
X^4-14X^3+45X^2+24X=0
X(X^3-14X^2+45X+24)=0
X(X-8)(X^2-6X-3)=0
ดังนั้น X=0,8,3+2root3,3-2root3
จากการตรวจคำตอบพบว่าใช้ได้เพียง 2 ค่าคือ 8,3+2root3

เอ..ข้อ 2 น่ะ แทนค่าด้วย 8 ในโจทย์จะได้ว่า
4 = 3 - 1 ไม่ใช่เหรอ
ส่วน 3+2sqrt3 ก็ไม่เท่ากัน(ขี้เกียจพิมพ์)

แทนค่าด้วย 8 ก้อกรณีที่เป็นลบไงครับ
จะได้ว่า -4= -3-1
ส่วน 3+2root3
จะได้ว่า root3=root3+1-1

แทนค่าถูกแล้วครับ.
แต่ไม่จำเป็นต้องแทนค่า
พิจารณาเงื่อนไขจากรู้ท (x)
กับ รู้ท(x^2 -x -6) ก็พอ