โจทย์คณิตเข้ามหาวิทยาลัยของเวียดนาม

[กิตติ]

ผมคัดเฉพาะพีชคณิต ไม่ได้เอาเรขาคณิตมาลง ค่อยๆทยอยลงแล้วกัน เป็นวิชาที่เขาเลือกเข้าเรียนบัญชี
ใครสนใจเชิญได้เลยครับ

ชุดที่ 1

1.(2009) จงหาค่า $ x$ จากสมการ $sinx+cosxsin2x-\sqrt{3}cos3x=2(cos4x+sin^3x)$
โจทย์ที่ถูกเป็น $sinx+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x=2(cos4x+sin^3x)$

2.(2009) จงแก้สมการหาค่า $x,y$ เมื่อ$x,y\epsilon R$
$xy+x+1=7y$ และ $x^2y^2+xy+1=13y^2$

3.(2009) จงหาค่า$m$ ที่ทำให้เส้นตรง$y= -x+m$ ตัดกับกราฟของสมการ $y=\frac{x^2-1}{x} $ ที่จุดสองจุดที่แตกต่างกัน คือ $A,B$ โดยที่ระยะทางระหว่างจุด $A$ และ $B$ เท่ากับ $4$

4.(2003 ) จงแก้สมการหาค่า $x,y$ จากสมการ
$x -\frac{1}{x} =y-\frac{1}{y} $ และ $2y=x^3+1$

5.(2003) จงแก้สมการหาค่า$x$ จากสมการ
$cotx-1 =\dfrac{cos2x}{1+tanx} +sin^2x-\frac{1}{2}sin2x $

6.(2004) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเป็น$A,B,C$ จงพิสูจน์ว่า $cos2A+2\sqrt{2}cosB+2\sqrt{2}cosC =3 $

7.(2005) จงหาค่า $x$ จากสมการ $cos^23xcos2x-cos^2x=0$

8.(2005) จงแก้อสมการ $\sqrt{5x-1} -\sqrt{x-1} > \sqrt{2x-4} $

9.(2008) จงแก้สมการ $\frac{1}{sinx} +\frac{1}{sin(x-\frac{3\pi }{2} )} =4sin (\frac{7\pi }{4} -x)$

10.(2008) จงหาค่า $x,y$ จากสมการ $x^2+y+x^3y+xy^2+xy = -\frac{5}{4} $ และ $x^4+y^2+xy(1+2x ) = -\frac{5}{4} $ เมื่อ$x,y\epsilon R$


ชุดที่2

1.(2004,ชุดA) จงแก้สมการ $\frac{\sqrt{2(x^2-16)} }{\sqrt{x-3} }+ \sqrt{x-3} > \frac{7-x}{\sqrt{x-3}} $

2.(2004,ชุดA) จงหาค่า$x,y$ จากสมการ $log_{\frac{1}{4} }(y-x)-log_4\frac{1}{y}=1 $ และ $x^2+y^2=25$

3..(2004,ชุดA) ฟังก์ชั่น $y=\frac{-x^2-3x-3}{2(x-1)} $ ตัดกับเส้นตรง$y= m$ ที่จุด$A$ และ $B$ โดยที่ระยะระหว่างจุด $A$ และ $B$ เท่ากับ $1$ จงหาค่า$m$ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้น

4.(2004,ชุดA) สัมประสิทธิ์ของพจน์$x^8$จากการกระจาย $\left[\,1+x^2(1-x)\right]^8 $ มีค่าเท่าไหร่

5.(2004,ชุดA) จงหาจำนวนเต็มบวก$n$ที่สอดคล้องกับสมการ
$C^1_{2n+1}-2.2C^2_{2n+1}+3.2^2C^3_{2n+1}-4.2^3C^4_{2n+1}+...+(2n+1).2^{2n}C^{2n+1}_{2n+1} = 2005$

6.(2006,ชุดB) จงหาค่า $m$ ที่ทำให้สมการนี้มีรากเป็นจำนวนจริงสองจำนวนที่ต่างกัน
$\sqrt{x^2+mx+2} =2x+1 $

7.(2006,ชุดB) สำหรับ $x,y$ ที่เป็นจำนวนจริง จงหาค่าต่ำสุดของ $A$ เมื่อ
$A=\sqrt{(x+1)^2+y^2} +\sqrt{(x-1)^2+y^2} +\left|\,y-2\right| $

8.(2006,ชุดB) จงแก้อสมการ $log_5(4^x+144)-4log_52<1+log_5(2^{x-2}+1)$

9.(2006,ชุดB) เซต $A$ มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ$ n \quad, n\geqslant 4 $ และจำนวนซับเซตที่มีสมาชิก $4$ ตัวของเซต $A $เท่ากับ $20$ เท่าของจำนวนซับเซตที่มีสมาชิก $2$ ตัวของเซต $A$. $k\epsilon \left\{\,1,2,3,...,n\right\} $ จงหาค่า $k$ ที่มากที่สุด

10.(2006,ชุดB)จงแก้สมการ $ \cot x+\sin x(1+\tan x\tan\frac{x}{2} ) = 4$

[Ne[S]zA]

ข้อ 3) ตอบ $m=\pm \sqrt{24}$
จาก $y=-x+m$_____(1)
และ $y=\dfrac{x^2-1}{x}$_____(2)
แก้สมการได้ $(x,y)=(\dfrac{m+\sqrt{m^2+8}}{4},\dfrac{3m-\sqrt{m^2+8}}{4}),(\dfrac{m-\sqrt{m^2+8}}{4},\dfrac{3m+\sqrt{m^2+8}}{4})$
เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุด A และ B เท่ากับ 4
ดังนั้น $4=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
จะได้ว่า $4=\sqrt{(\dfrac{2\sqrt{m^2+8}}{4})^2+(\dfrac{2\sqrt{m^2+8}}{4})^2}$
แก้สมการได้ $m=\pm \sqrt{24}$

[Ne[S]zA]

ข้อ 4) ตอบ $(x,y)=(1,1),(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}),(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2})$
จากสมการ $x-\dfrac{1}{x}=y-\dfrac{1}{y}$ จัดรูปใหม่ได้ $-x^2y+xy^2=x-y$
คูณ 3 ตลอดทั้งสมการ จากนั้น บวกด้วย $x^3-y^3$ ทั้งสมการ จะได้
$x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=x^3-y^3+3(x-y)$
$(x-y)^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)+3(x-y)$
$(x-y)(x-y)^2-(x-y)(x^2+xy+y^2+3)=0$
$(x-y)(x^2-2xy+y^2-x^2-xy-y^2-3)=0$
$(x-y)(xy+1)=0$
พิจารณากรณีที่ $x=y$ แทนลงในสมการ $2y=x^3+1$
จะได้ว่า $x^3-2x+1=0$ นั่นคือ $(x-1)(x^2+x-1)=0$
จะได้ $x=1,\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ เนื่องจาก $x=y$ จึงไดว่า $y=1,\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

พิจารณากรณีที่ $xy=-1$
จากสมการ $2y=x^3+1$
คูณ $x$ ตลอด ได้ว่า $x^4+x+2=0$
แต่ $x^4+x+2=(x-1/2)^2+3/4+(x+1/2)^2+1/2>0$ นั่นคือไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
ดังนั้น ตอบ $(x,y)=(1,1),(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}),(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2})$ เป็นคำตอบของสมการ

[Ne[S]zA]

ข้อ 8) ตอบ $x\in [2,10)$
$\sqrt{5x-1}>\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1}$
$5x-1>(\sqrt{2x-4}+\sqrt{x-1})^2=3x-5+2\sqrt{(2x-4)(x-1)}$
$x+2>\sqrt{2x^2-6x+4}$
$x^2-10x<0$ จะได้ว่า $x\in (0,10)$
พิจารณากรณี $x\geqslant 1/5$ และ $x\geqslant 2$ และ $x\geqslant 1$
จะได้ว่า คำตอบของอสมการคือ $x\in [2,10)$

[Ne[S]zA]

ข้อ 10) ตอบ $(x,y)=(1,-3/2),((\frac{5}{4})^{1/3},-(\frac{5}{4})^{2/3})$ หรือเปล่าครับ
$x^2+y+x^3y+xy^2+xy = -\frac{5}{4}$_____(1)
$x^4+y^2+xy(1+2x ) = -\frac{5}{4}$_____(2)
สามารถจัดสมการ (1) ได้เป็น $x^2(x^2+y)+y(x^2+y)+xy=(x^2+y)^2+xy=-5/4$_____(3)
ในทำนองเดียวกันสามารถจัดสมการที่ (2) ได้เป็น $(x^2+y)+xy(x^2+y)+xy=(x^2+y)(1+xy)+xy=-5/4$_____(4)
(3)-(4) จะได้ว่า $(x^2+y)(x-1)(x+1-y)=0$

กรณีที่ $x^2+y=0$ แทนค่าในสมการที่ (1) ได้ว่า $x^4+x^4-x^3-2x^4=-5/4$ นั่นคือ
จะได้ $x=(\frac{5}{4})^{1/3}$ และ $y=-(\frac{5}{4})^{2/3}$
กรณีที่ $x=1$ แทนค่าในสมการที่ (1) จะได้ $y=-3/2$
กรณีที่ $x+1=y$ แทนในสมการที่ (1) จะได้ว่า
$4x^4+8x^3+16x^2+8x+4+5=0$
หารด้วย $x^2$ ตลอด จากนั้นจัดรูปจะได้ว่า
$4x^4+8x^3+16x^2+8x+4+5=4(x+\frac{1}{x}+1)^2+\frac{5}{x^2}+4>0$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ดังนั้น คำตอบของสมการคือ $(x,y)=(1,-3/2),((\frac{5}{4})^{1/3},-(\frac{5}{4})^{2/3})$

[gon]

1.(2009) จงหาค่า $x$ จากสมการ $\sin x+\cos x\sin 2x-\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 4x+\sin^3x)$

My Solution

$2\sin x + 2\cos x \ sin 2x - 2\sqrt{3}\cos 3x = 4\cos 4x + 4\sin^3x$

$2\sin x + 2\cos x \ sin 2x - 2\sqrt{3}\cos 3x = 4\cos 4x + 3\sin x - \sin 3x$

$2\cos x \ sin 2x - 2\sqrt{3}\cos 3x = 4\cos 4x + (\sin x - \sin 3x)$

$2\cos x \ sin 2x - 2\sqrt{3}\cos 3x = 4\cos 4x - 2\cos 2x \sin x)$

$2(\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x) - 2\sqrt{3}\cos 3x = 4\cos 4x$

$2\sin 3x - 2\sqrt{3}\cos 3x = 4\cos 4x$

$4\sin(3x-\frac{\pi}{3}) - 4\sin(\frac{\pi}{2}-4x) = 0$

$2\cos(-\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})\sin(\frac{7x}{2} - \frac{5\pi}{12}) = 0$

$-\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} = n\pi + \frac{\pi}{2}$ หรือ $\frac{7x}{2} - \frac{5\pi}{12} = n\pi$

$x = -\frac{(12n+5)\pi}{6}$ หรือ $x = \frac{(12n+5)\pi}{42}$

[banker]

สอบเข้ามหาลัยยากจัง ไปเรียน มสธ ดีกั่ว

[Suwiwat B]

ถ้าเป็น facebook ผมอยากกด like คุณ banker สัก 10000 รอบ

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

2.(2009) จงแก้สมการหาค่า $x,y$ เมื่อ $x,y ~\epsilon~ R$
$xy+x+1=7y$ และ $x^2y^2+xy+1=13y^2$

Sol.

$x^2y^2+2xy+1 = (7y-x)^2 $ ... (1)

$x^2y^2+xy+1 = 13y^2$ ... (2)

(2) - (1), $xy = 49y^2 - 14yx + x^2 - 13y^2$

$36y^2 - 15xy + x^2 = 0$

$(12y - x)(3y - x) = 0$

$x = 12y$ หรือ $x = 3y$

$(x, y) = (1, \frac{1}{3}), (3, 1)$

[Suwiwat B]

ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่านะครับ ช่วย check ให้ด้วยนะครับ
ข้อ 5)
$cotx - 1 = \frac{cos2x}{1+tanx} + sin^2 x - \frac{1}{2}sin2x$
$\frac{cosx - sinx}{sinx} = \frac{1 - tanx}{1 + tan^2 x} + sin^2 x - \frac{1}{2}sin2x$
$\frac{cosx - sinx}{sinx} = \frac{cosx - sinx}{\frac{1}{cos^2 x} } + sin^2 x - \frac{1}{2}sin2x$
$\frac{cosx - sinx}{sinx} = (cosx - sinx)(cosx) - sinx(cosx - sinx)$
$cosx = sinx หรือ \frac{1}{sinx} = cosx - sinx$
$tanx = 1 หรือ \frac{1}{sinx} = cosx - sinx$
$x = n\pi + \frac{\pi }{4}$ หรือ
$\frac{1}{sinx} = \sqrt{2}cos(\frac{\pi }{4} + x )$
$1 = \sqrt{2}cos(\frac{\pi }{4} + x )sinx$
$\sqrt{2} = 2cos(\frac{\pi }{4} + x )sinx$
$\sqrt{2} = sin(\frac{\pi }{4} + 2x) - sin\frac{\pi }{4}$
$sin(\frac{\pi }{4} + 2x) = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} > 1$
ไม่มี $x$ ที่สอดคล้อง
ดังนั้น $x = n\pi + \frac{\pi }{4}$

[กิตติ]

ข้อหนึ่งผมตรวจดูโจทย์อีกรอบแล้ว ผมพิมพ์โจทย์ผิด
โจทย์จริงๆเป็น
$sinx+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x=2(cos4x+sin^3x)$
ขอโทษคุณgonด้วยครับที่ทำให้เสียเวลา
เมื่อวานพยายามเข้ามาแก้โจทย์แต่เวปCrashDownไปก่อน

1.(2009) จงหาค่า $ x$ จากสมการ $sinx+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x=2(cos4x+sin^3x)$

ในเฉลยของเวปไซด์
$sinx+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x=2(cos4x+sin^3x)$
$(1-2sin^2x)sinx+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x = 2cos4x$
$sinxcos2x+cosxsin2x+\sqrt{3}cos3x = 2cos4x$
$sin3x+\sqrt{3}cos3x= 2cos4x$
$cos(3x-\frac{\pi }{6} )= cos4x$
$4x=3x-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ หรือ $4x= -3x+\frac{\pi }{6}+2k\pi$
$x= \quad -\frac{\pi }{6}+2k\pi$ หรือ $x= \frac{\pi }{42}+2k\frac{\pi }{7}$

[กิตติ]

2.(2009) จงแก้สมการหาค่า $x,y$ เมื่อ$x,y\epsilon R$
$xy+x+1=7y$ และ $x^2y^2+xy+1=13y^2$

ข้อสองคำตอบถูกแล้วครับ เดี๋ยวผมพิมพ์วิธีทำที่เขาแจกด้วยให้ดูกันครับ
แปลงรูปสมการเป็น $xy+x+1=7y \rightarrow x+\frac{x}{y} +\frac{1}{y} =7$
$(x +\frac{1}{y} )+\frac{x}{y}=7$............(1)
$x^2y^2+xy+1=13y^2 \rightarrow x^2+\frac{x}{y} +\frac{1}{y^2} =13$
$(x +\frac{1}{y})^2-\frac{x}{y}= 13$...............(2)
(1)+(2)....$(x +\frac{1}{y})^2+\frac{x}{y} =20$
$(x +\frac{1}{y})^2+\frac{x}{y}-20=0$
$\left\{\,(x +\frac{1}{y})+5\right\}\left\{\,(x +\frac{1}{y})-4\right\}=0 $
$x +\frac{1}{y} = 4, -5$ แทนกลับไปที่สมการที่(1)
จะได้$x=3y$ และ $x=12y$ ตามลำดับ

$(x, y) = (1, \frac{1}{3}), (3, 1)$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$cos(3x-\frac{\pi }{6} )= 2cos4x$<<<<ลืมใส่ 2 หน้า $cos(3x-\frac{\pi }{6} )$ ครับ
$4x=3x-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ หรือ $4x= -3x+\frac{\pi }{6}+2k\pi$
$x= \quad -\frac{\pi }{6}+2k\pi$ หรือ $x= \frac{\pi }{42}+2k\frac{\pi }{7}$

ปล.ทำไมข้อสอบเข้ามันยากจังอะครับ มีทั้งหมดกี่ข้ออ่ะ ครับ

[กิตติ]

ผมพิมพ์ผิดครับ เพราะเราย้าย2ที่อยู่หน้า$cos4x$ ไปหาร$sin3x+\sqrt{3}cos3x$
จะได้$\frac{1}{2} sin3x+\frac{\sqrt{3}}{2} cos3x$

ข้อสอบมีเจ็ดข้อ....ให้เวลาทำ 180 นาที สามชั่วโมง.....เป็นอัตนัย
ในpdf หาไม่เจอว่าให้เขียนแต่คำตอบหรือแสดงวิธีทำ

[กิตติ]

3.(2009) จงหาค่า$m$ ที่ทำให้เส้นตรง$y= -x+m$ ตัดกับกราฟของสมการ $y=\frac{x^2-1}{x} $ ที่จุดสองจุดที่แตกต่างกัน คือ $A,B$ โดยที่ระยะทางระหว่างจุด $A$ และ $B$ เท่ากับ $4$

ข้อสา่ม คำตอบของน้องเนสถูกแล้วครับ
วิธีเฉลยที่เขาแจก
จะได้ว่า$-x+m=\dfrac{x^2-1}{x} \rightarrow 2x^2-mx-1=0,x\not= 0$
ให้$x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ $2x^2-mx-1=0,x\not= 0$
ดังนั้นเราก็ให้จุด$A,B$ มีพิกัดเป็น $A$ : $(x_1,y_1)$ และ $B$ : $(x_2,y_2)$
เขียน $AB$ แทนระยะระหว่างจุด$A,B$
$AB^2= (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$
จุด$A,B$ อยู่บนเส้นตรง $y= -x+m$ ซึ่งมีความชัน$-1$
ดังนั้น $(y_1-y_2) = -(x_1-x_2)$
$AB^2= 2(x_1-x_2)^2 = 2\left\{\,(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\right\} $
จากสมการ $2x^2-mx-1=0$ จะได้ว่า $x_1+x_2= \frac{m}{2} ,x_1x_2= -\frac{1}{2} $
$AB^2= \frac{m^2}{2} +4$
$16 = \frac{m^2}{2} +4 \rightarrow m^2=24 \rightarrow m=\pm 2\sqrt{6} $