ระบบสมการ

[lek2554]

นักเรียนเอาโจทย์มาถาม ใน sheet เขาจั่วหัวว่า โจทย์ปัญหาท้าทาย ผมก็ยังไม่ได้คิดเลยครับ โจทย์แนวนี้ผมไม่ค่อยได้เล่นครับ

1. กำหนดให้ $23058^3-38683^3-39442^3+55067^3=a\times 10^n$ เมื่อ $1\leqslant a<10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม ค่าของ $an$ เป็นเท่าไร

2. กำหนด $a,b,c,x,y,z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

$\quad(a+2543)(b-532)(c+2000)+(x-97)(y+998)(z-2211) = 1$
$\quad(a+2544)(b-533)(c+2001)+(x-98)(y+999)(z-2212) = 10$
$\quad(a+2545)(b-534)(c+2002)+(x-99)(y+1000)(z-2213) = 100$

$\quad$ค่าของ$\quad(a+2554)(b-543)(c+2011)+(x-108)(y+1009)(z-2222)+1000\quad$ เป็นเท่าไร

3. กำหนด $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4-5x^3+8x^2+5x+1=0$

$\quad$ค่าของ$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ เป็นเท่าไร

หมายเหตุ ข้อ 3 ผมลองเขียนกราฟแล้ว สมการไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง ดังนั้นคำถามคงต้องการรากที่เป็นจำนวนจินตภาพ

[Yuranan]

ข้อ 1 ลองแบบนี้ครับ $55067^3-39442^3=15625(55067^2+55067\cdot 39442+39442^2)$
$38683^3-23058^3=15625(38683^2+38683\cdot23058+23058^2)$
จึงได้ $55067^3-39442^3-38683^3+23058^3$
$=5^6(16384(55067+38683+39442+23058)+39442^2-23058^2+39442\cdot15625-23058\cdot15625)$
$=5^6(2^{14}\cdot234375)=5^6(2^{14}\cdot15625\cdot15)=6\cdot10^{13}$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

1. กำหนดให้ $23058^3-38683^3-39442^3+55067^3=a\times 10^n$ เมื่อ $1\leqslant a<10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม ค่าของ $an$ เป็นเท่าไร

$1).$

Hint

ใช้เอกลักษณ์ $$a^3-b^3=\left(\frac{a-b}{4}\right)\left(3(a+b)^2+(a-b)^2\right)$$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

2. กำหนด $a,b,c,x,y,z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

$\quad(a+2543)(b-532)(c+2000)+(x-97)(y+998)(z-2211) = 1$
$\quad(a+2544)(b-533)(c+2001)+(x-98)(y+999)(z-2212) = 10$
$\quad(a+2545)(b-534)(c+2002)+(x-99)(y+1000)(z-2213) = 100$

$\quad$ค่าของ$\quad(a+2544)(b-543)(c+2011)+(x-108)(y+1009)(z-2222)+1000\quad$ เป็นเท่าไร

$2).$
ในคำถามพจน์แรก ควรจะเป็น $a+2554$ หรือเปล่าครับ

Hint

ลองเซตตัวแปรใหม่ เป็น
$a'=a+2544$ , $b'=b-533$ , $c'=c+2001$
$x'=x-98$ , $y'=y+999$ , $z'=z-2212$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

3. กำหนด $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4-5x^3+8x^2+5x+1=0$
$\quad$ค่าของ$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ เป็นเท่าไร

$3).$

Hint

ลองจัดรูปสมการใหม่เป็น $$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2-5\left(x-\frac{1}{x}\right)+10=0$$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

$2)$ ในคำถามพจน์แรก ควรจะเป็น $a+2554$ หรือเปล่าครับ

ใช่ตรับผมพิมพ์ผิด ขอโทษครับ ผมไปแก้แล้วนะครับ

ป.ล. ขอชื่นชม คุณ Amankris เชี่ยวชาญในเอกลักษณ์ต่าง ๆ มาก ไม่ทราบว่าศึกษาจากไหนครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ป.ล. ขอชื่นชม คุณ Amankris เชี่ยวชาญในเอกลักษณ์ต่าง ๆ มาก ไม่ทราบว่าศึกษาจากไหนครับ

ขอบคุณนะครับ

ไม่ได้ศึกษาจากไหนเป็นพิเศษหรอกครับ

ใช้การสังเกตเสียมากกว่าครับ

ปล.คาดว่า จขกท. น่าจะทำได้ครบทุกข้อแล้วสินะครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

3. กำหนด $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4-5x^3+8x^2+5x+1=0$

$\quad$ค่าของ$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ เป็นเท่าไร

เห็นโจทย์ตอนดึกๆแล้วหมดแรงจะทำ กลับเอาไปฝันแบบเคลิ้มๆ ในฝันผมแปลง$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ มาเป็น $\left|\,x_1x_2x_3x_4\right| \sqrt{(x^2_1+\frac{1}{x^2_1} )(x^2_2+\frac{1}{x^2_2} )(x^2_3+\frac{1}{x^2_3} )(x^2_4+\frac{1}{x^2_4} )} $

จากที่คุณAmankris แปลงให้เป็น $\left(x-\frac{1}{x}\right)^2-5\left(x-\frac{1}{x}\right)+10=0$
ตามเทคนิคของการแก้สมการพหุนามที่เป็นแบบสมมาตร
ให้$x-\frac{1}{x}=M$
$M^2-5M+10=0$
$M=\frac{5\pm \sqrt{15} i}{2} $
$x-\frac{1}{x}=M \rightarrow x^2-Mx-1=0$
$x=\frac{M\pm \sqrt{M^2+4} }{2} $
ตรงนี้เราจะได้ว่าค่า $M$ หนึ่งค่าทำให้คำตอบของรากได้สองค่า
จาก $x-\frac{1}{x}=M \rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=M^2+2$
$M^2=\frac{5\pm 5\sqrt{5} i}{2} $
$M^2+2=\frac{9\pm 5\sqrt{5} i}{2}$
จากข้างต้นที่ ค่า $M$ หนึ่งค่าทำให้คำตอบของรากได้สองค่า เราจะแทนได้ว่า
$\sqrt{(x^2_1+\frac{1}{x^2_1} )(x^2_2+\frac{1}{x^2_2} )(x^2_3+\frac{1}{x^2_3} )(x^2_4+\frac{1}{x^2_4} )}$
$=\sqrt{(\frac{9+5\sqrt{5} i}{2})^2(\frac{9-5\sqrt{5} i}{2})^2} $
$=\left|\,\left(\,\frac{9+5\sqrt{5} i}{2}\right)\left(\,\frac{9-5\sqrt{5} i}{2}\right) \right| $
$=\frac{103}{2}$

$\left|\,x_1x_2x_3x_4\right|=1$

$$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} =\frac{103}{2}$$

ช่วยผมเช็คอีกทีว่าวันนี้ทำตรงไหนตกหล่นอีกบ้าง
แก้ตัวเลขตามที่คุณAmankris ช่วยเช็คให้แล้วครับ
ขอบคุณครับที่ช่วยดูให้

[lek2554]

ขอบคุณครับ พี่กิตติ ที่ช่วยออกแรงต่อให้ คุณ Amankris ที่ช่วย hint น้อง Yuranan ช่วยแนะและเฉลยให้ด้วย

ข้อ 2 คนออกข้อสอบ ให้เราหัวเราะ 4 ครั้งหรือเปล่าครับ 5555 (ยังไม่ว่างพิมพ์ครับ ต้องไปทำธุระก่อน)

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$M^2=\frac{5\pm \sqrt{15} i}{2} $
$M^2+2=\frac{9\pm \sqrt{15} i}{2}$

พลาดบรรทัดแรกตรงนี้ครับ

[Influenza_Mathematics]

แทรกหน่อยนะครับ
ใครพอมี 78 กระบวนท่าแบบ English บ้างครับขอหน่อยครับ

[Yuranan]

ข้อสอง ผมได้ 5555 ครับจริงด้วยแฮะ

[กิตติ]

อันนี้หรือเปล่าครับ....ของพี่เล็กเคยลงไว้ในห้องวิชาการ เป็นเรขาคณิต

[Influenza_Mathematics]

ครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ช่วยผมเช็คอีกทีว่าวันนี้ทำตรงไหนตกหล่นอีกบ้าง
แก้ตัวเลขตามที่คุณAmankris ช่วยเช็คให้แล้วครับ
ขอบคุณครับที่ช่วยดูให้

$M^2=\frac{5\pm 5\sqrt{5} i}{2} \rightarrow M^2=\frac{5\pm 5\sqrt{15} i}{2}$
$=\sqrt{(\frac{9+5\sqrt{5} i}{2})^2(\frac{9-5\sqrt{5} i}{2})^2} \rightarrow $ ตรงนี้ควรหาค่าใน root ให้เสร็จก่อนครับ เดี๋ยวผู้อ่านจะเข้าใจผิด เพราะถ้า $Z$ เป็นจำนวนจินตภาพ $\sqrt{Z^2}\not= \left|Z\right| $ ครับ (ข้อนี้บังเอิญผลคูณใน root เป็นจำนวนจริง )
$=\left|\,\left(\,\frac{9+5\sqrt{5} i}{2}\right)\left(\,\frac{9-5\sqrt{5} i}{2}\right) \right| $

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณเล็กที่ช่วยเตือนเรื่องของนิยามที่เราใช้กัน ว่า$\sqrt{x^2} =\left|\,x\right| $ นั้นเราหมายถึงเฉพาะจำนวจริงเท่านั้น
จริงๆเราควรเอาจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคอนจูเกตกันมาคูณกัน
$\sqrt{(\frac{9+5\sqrt{5} i}{2})^2(\frac{9-5\sqrt{5} i}{2})^2} $
$=\sqrt{\left\{\,\left(\,\frac{9+5\sqrt{5} i}{2}\right)\left(\,\frac{9-5\sqrt{5} i}{2}\right) \right\} \left\{\,\left(\,\frac{9+5\sqrt{5} i}{2}\right) \left(\,\frac{9-5\sqrt{5} i}{2}\right) \right\} } $
$=\sqrt{\left(\,\frac{206}{4} \right) \left(\,\frac{206}{4} \right)} $
$=\frac{206}{4}$
$=\frac{103}{2} $

[Amankris]

@#6

ยังผิดที่เดิมอยู่นะครับ