แจกเฉพาะกิจ (โครงการ 2) : ศุกร์นี้ !

[passer-by]

กลับมาแล้วครับ สำหรับแจกเฉพาะกิจ โครงการ 2 ต้อนรับเดือนแห่งความรัก

โดยการแจกคราวนี้ จะหาผู้ที่ได้คะแนนสูงสุดเพียงคนเดียวที่จะได้ของไป ส่วนการแข่งขัน จะแข่งแบบรอบเดียวจบครับ

คำถามทั้งหมด 15 ข้อ จะถูก post ประมาณ 1 ทุ่มครึ่งของวันศุกร์ที่ 2 ก.พ. 2550 และจะปิดรับทุกคำตอบในเวลา 6 โมงเช้าของวันเสาร์ที่ 3 กุมภาพันธ์ เท่ากับเวลามีเวลาประมาณ 10 ชั่วโมง ในการคิดโจทย์

ระดับความยากง่าย ก็ใกล้เคียงกันครับ เพราะผมให้คะแนนเต็มทุกข้อเท่ากัน

เนื้อหาที่ใช้ ก็มีตั้งแต่ แก้สมการ , ตรีโกณมิติ , เมตริกซ์ , อสมการ , เรขาคณิต , ฟังก์ชัน , Number theory , ความน่าจะเป็น และความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับ Maths ครับ

กติกา ก็คล้ายๆเดิมครับ คือ
(i) สงวนสิทธิ์เฉพาะผู้ที่ยังไม่ จบ ป.ตรี หรือ ผู้ที่ไม่อยู่ในข้อห้าม 3 ข้อต่อไปนี้
(A) เป็น moderator ที่นี่
(B) มีวุฒิ โท-เอก ทางคณิตศาสตร์
(C) กำลังศึกษา โท-เอก ทาง คณิตศาสตร์
ถ้าอยู่ในกลุ่ม (A) หรือ (B) หรือ (C) ก็หมดสิทธิ์เล่น ครับ

(ii) แสดงวิธีทำพอสังเขป และสำหรับข้อเดียวกัน 2 คนจะตอบซ้ำกันได้ แต่ต้องใช้วิธีที่ต่างกัน(อย่างเห็นได้ชัด)
(iii) แก้ไขคำตอบที่ตอบไปแล้วกี่ครั้งก็ได้ แต่ต้องทำก่อนปิดรับคำตอบ
(iv) อย่าพยายามโกง ไม่ว่าวิธีใดก็ตาม ขอให้ซื่อสัตย์กับตัวเองครับ

ใครมีข้อสงสัยอะไรก็สอบถามได้ก่อนการแจกจะเริ่มในศุกร์นี้ครับ

ส่วนของรางวัลที่จะแจกสำหรับผู้ที่ได้คะแนนสูงสุด คือ หนังสือข้อสอบพร้อมเฉลย Singapore Maths Olympiad (2001-2002) ครับ (เอาหน้าปกไปดูพลางๆก่อนแล้วกัน)

[M@gpie]

โอ้ว ผมระดับใกล้จบป.ตรี ครับ ยังเล่นได้ แหะๆๆ

[banker]

ใกล้เกษียณเกือบ60 เล่นด้วยได้ไหม

[sck]

ข้อความเดิมของคุณ banker:
ใกล้เกษียณเกือบ60 เล่นด้วยได้ไหม

[passer-by]

สำหรับ น้อง M@gpie ไม่มีปัญหาครับ คราวนี้ confirm ว่า น้อง M@gpie จะไม่โดนกติกากดคะแนนแบบคราวที่แล้วแน่นอน

จริงๆ คุณสมบัติของคนที่จะร่วมสนุก ก็ไม่ได้ fix ไว้แบบเอาเป็นเอาตายหรอกครับ ก็แค่...

อันดับแรก คือ moderators ที่นี่ ถูกตัดสิทธิ์ครับ
อันดับที่ 2 คือ พวกที่กำลังเรียน โท-เอกทาง Maths หรือมีวุฒิ โท -เอก ทาง Maths ก็ถูกตัดสิทธิ์ครับ

ดังนั้นถ้าคุณ banker หรือ ใครที่จบ ป.ตรีไปแล้ว แต่ไม่อยู่ในข้อห้ามทั้ง 2 ข้อนี้ ก็ไม่มีปัญหาครับ ร่วมสนุกได้เต็มที่ (เดี๋ยวผมจะแปะข้อห้ามนี้ไว้อีกที ด้านบนแล้วกันครับ)

อีกอย่างหนึ่ง ก่อนวันจริง ผมจะแปะ Sample problems ให้ดูก่อนครับ ซึ่งบอกไว้ก่อนว่า มันเป็นแค่ Sample practice problems นั่นคือ มันจะไม่ปรากฏในข้อสอบของวันจริง แค่ซ้อมมือเฉยๆ

ผมพยายามจะให้คำถามมันง่ายกว่าตอนโครงการ 1 นิดหน่อย เพราะคราวนี้ ผมจำกัดเวลาเอาไว้

อ้อ! โจทย์ทั้ง 15 ข้อ มีคำนวณประมาณ 60 % และ proof 40 % ครับ

p.s. อย่าลืมว่า ในวันจริง มีเวลาแค่ 10 ชั่วโมงเท่านั้นนะครับ และ link ข้างล่างนี้ สำหรับใครที่อยากรู้ว่า แจกเฉพาะกิจ โครงการ 1 เป็นอย่างไร

โครงการ 1 รอบแรก

โครงการ 1 รอบสอง

[passer-by]

PRACTICE PROBLEMS (ให้ซ้อมมือเฉยๆ แต่ไม่ปรากฏในคำถามของวันจริงนะคร้าบ)

1. Calculate $$ \prod_{i=1}^{89} \sin i^{\circ} $$

2. หาคำตอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริงของสมการ $ x^2-x-1000\sqrt{1+8000x}=1000 $

3. กำหนด $ F_1=1 , F_2=1 $ และ $ F_n = F_{n-1}+F_{n-2} \,\, (n \geq 3) $

หาค่า $$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{F_n}{F_{n-1}F_{n+1}} $$

4. กำหนดเมตริกซ์ขนาด n x n แทนด้วย $D_n$ และมีสมาชิกแต่ละตัวดังนี้

$ d_{ij}= \left\{\begin{array}{ll} 5 & ,i= j \\ 2 & ,\mid i-j \mid = 1 \\ 0 & ,\text{otherwise} \end{array} \right. $

หาเศษทั้งหมดที่ได้จากการหาร $ det(D_p) $ ด้วย 5 เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะบวก

5. กำหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD และ O เป็นวงกลมจุดศูนย์กลาง A รัศมี AB ถ้า P, M เป็นจุดบน CD, BC ตามลำดับ ซึ่ง PM สัมผัสวงกลม O

ให้ AP , AM ตัด BD ที่ Q, N ตามลำดับ พิสูจน์ว่า สามารถสร้างวงกลมที่มี P, Q, N, M , C อยู่บนเส้นรอบวงได้

[Mastermander]

1. อ้างได้เลยรึเปล่าครับว่า $$\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} =\frac{n}{2^{n-1}}$$
Hence, $$\prod_{i=1}^{89} \sin i^{\circ}=\sqrt{\frac{180}{2^{179}}}$$

[passer-by]

คำตอบก็ถูกแหละครับ แต่ผมว่า วิธีมันลัดเกินไปมั้งครับ น้อง mastermander

สำหรับวันจริง ในกรณีที่พบว่า แทนค่าสูตรแล้วออก แต่สูตรไม่ใช่ standard well-known formula ก็น่าจะบอกที่ไปที่มาของสูตรนิดนึงก็ดีครับ

p.s. ผม guide ให้นิดนึงว่า ในวันจริง ให้ลอง scan คำถามทั้งหมดก่อนครับ เพราะมีบางข้อที่มันง่ายอย่างเห็นได้ชัด แฝงอยู่ด้วย

[nongtum]

เล่นไม่ได้ งั้นแวะมาปล่อยคำใบ้คำถามซ้อมมือบางข้อละกันครับ

hints

2. เทคนิคคล้ายๆข้อ 4. กระทู้ sequence and series marathon
3. สมการโจทย์ให้ข้อมูลเกี่ยวกับเทอมที่ติดรากอย่างไร ข้อนี้ตอบ 2001
4. พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง $\det(D_{2k+1})$ และ $\det(D_{2k})$ เมื่อ $k=0,1,2,\dots$
5. ลากจากจุด A ไปหาเส้นสัมผัส จุด P และ M

[passer-by]

พร้อมอยู่กันข้ามคืนหรือยังครับ งั้นมาเริ่มกันเลย

นี่คือ ข้อ 1-14 (ข้อละ 2 คะแนน)

1. หา (x,y) ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง และสอดคล้องกับ $$ 4xy+4(x^2+y^2)+ \frac{3}{(x+y)^2}= \frac{85}{3} $$ $$ 2x+\frac{1}{x+y}= \frac{13}{3} $$

2. หารากจริงทั้งหมดของสมการ $$ (3^{\log_7 x}+4)^{\log_7 3 }= x - 4 $$

3. เลือกทำ 1 ข้อเท่านั้น
(A) Calculate $$ \prod_{i=1}^{29} (\sqrt{3}+\tan i^{\circ}) $$
(B) Simplify $$ \frac{1}{\cos 0^{\circ} \cos 1^{\circ}}+\frac{1}{\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ}}+\cdots +\frac{1}{\cos 88^{\circ} \cos 89^{\circ}}$$

4. กำหนด $ a_i>0 $ และ $ \sum_{i=1}^n a_i = 1 $ พิสูจน์ว่า $$ \frac{a_1^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3}{a_n^2 +a_1^2} \geq \frac{1}{2} $$

5. ให้ $ p_1 , p_2 , \cdots , p_{2006} $ เป็นจำนวนนับที่ต่างกัน และมากกว่า 1 พิสูจน์ว่า $$ \prod_{i=1}^{2006} \big( 1- \frac{1}{p_i^2} \big ) > \frac{1}{2} $$

6. ให้ Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ กำหนด $ f:N \rightarrow Q $ ซึ่ง $ f(1)= \frac{3}{2} $ และ
$ f(x+y)= (1+ \frac{y}{x+1})f(x)+ (1+ \frac{x}{y+1})f(y)+ x^2y+xy+xy^2 $ ทุกจำนวนนับ $ x,y $
หาค่า f(20)

7. ให้ $ a \geq 0$ พิสูจน์ว่า $ \sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+ \sqrt[6]{a} \leq a+2 $

8. กำหนดวงกลมจุดศูนย์กลาง I รัศมี r แนบในสามเหลี่ยม ABC ถ้าเส้นที่เชื่อม I และจุดกึ่งกลาง BC ตัดส่วนสูงจาก A ที่ X พิสูจน์ว่า ขนาดของ AX เท่ากับ r

9. หาฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึง $ f :[0,1) \rightarrow (0,1) $ โดย $ f(x) \neq x $ for infinitely many x

10. $ A= 1!2!3! \cdots 1002! $ และ $ B = 1004!1005!1006! \cdots 2006! $ พิสูจน์ว่า 2AB เขียนในรูปกำลังสองของจำนวนนับได้

11. ส่วนของเส้นตรงยาว 5 หน่วย ถ้าสุ่มเลือกจุด 2 จุดอย่างสุ่มบนส่วนของเส้นตรง เพื่อแบ่งส่วนของเส้นตรงเป็น 3 ส่วน หาความน่าจะเป็นที่ทั้ง 3 ส่วน ยาวไม่เกิน 3 หน่วย

12. $ a_1 , a_2, \cdots a_{13} \in R $ โดย $ \mid a_{n+1} ?\, a_n \mid =1 $ เมื่อ $ n =1,2,\cdots 12 $
และ $a_1=1 , a_{13}=5 $ หาว่ามี $ a_1 , a_2, \cdots a_{13} $ กี่ชุด

13. $k$ เป็นรากจำนวนจริงบวกของสมการ $ x^2-2550x-1=0 $ ถ้ากำหนด $x_0=1 , x_{n+1}= \lfloor kx_n \rfloor \,\, (n \geq 0)$ หาเศษจากการหาร $ x_{2550}$ ด้วย 2550

14. Simplify det(A) เมื่อ A = $\bmatrix{a-b & b-c &c-a \\ b-c & c-a & a-b \\c-a &a-b &b-c}
$

[passer-by]

และข้อที่ 15 ให้ 3 คะแนนครับ

15. จากรูปด้านล่าง เป็นส่วนหนึ่งของการสร้าง Cantor set (ถึงแม้ไม่ใช่ standard version) ซึ่งเกิดจากการ ลากเส้นตรงยาว 1 หน่วย , แบ่งเป็น 5 ส่วนเท่าๆกัน และ remove ส่วนที่ 2 กับ 4 ทิ้งไป (ดังบรรทัดที่ 2) จากนั้นก็ทำซ้ำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ถึงอนันต์ สิ่งที่น่าสนใจคือ เมื่อทำเช่นนี้ไปถึงอนันต์ บรรทัดสุดท้ายที่ได้ มีมิติเท่าไหร่ จะเหมือนกับ กรณี มิติของเส้นตรง รูปเหลี่ยม หรือลูกบาศก์หรือไม่

ดังนั้น คำถามข้อนี้ ก็คือผม อยากรู้ว่า มิติ (dimension) ของรูปในบรรทัดสุดท้าย เมื่อทำไปถึงอนันต์ เป็นเท่าใด (ตอบเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง)

(Hint: อันดับแรก ควรจะหาให้ได้ก่อนว่า จะหามิติของรูปได้จากสูตรอะไร)

ขอให้โชคดีครับ

[M@gpie]

ขออนุญาตซิวข้อง่ายก่อนนะครับ พรุ่งนี้มีสอบเสียด้วย อิอิ
ข้อ 1. พิจารณา \[ 4xy +4(x^2+y^2) +\frac{3}{(x+y)^2} = \frac{85}{3} \Rightarrow 4(x+y)^2-4xy + \frac{3}{(x+y)^2} = \frac{85}{3} .........(*) \]
ให้ $u=x+y, \; v=x-y$ จะได้ว่า $u=\frac{x+y}{2}, \; v=\frac{x-y}{2}$
แทนค่า ในสมการทั้งสอง จะได้ว่า
\[ 3(u^2+\frac{1}{u^2}) + v^2 = \frac{85}{3}\]
\[ 3(u+\frac{1}{u})^2 - 6 +v^2 = \frac{85}{3} \]
และในสมการที่สองในโจทย์จะได้เป็น
\[ u+\frac{1}{u} = \frac{13}{3} - v\]
แก้สมการทั้งสอง จะได้ $v=\frac{11}{2}, \;\; 1$ และนำไปแทนค่าหา u
เมื่อ $v=1$ จะได้คำตอบที่เป็นจำนวนจริง คือ $ \{ (\frac{1}{3},1),(3,1) \}$
เมื่อ $v=\frac{11}{2}$ จะได้ $u$ ไม่เป็นจำนวนจริง
จะได้ว่า \[ (u,v) \in \{ (\frac{1}{3},1),(3,1) \}\]
คำตอบที่แท้จริงคือ \[ (x,y) \in \{ (\frac{2}{3},-\frac{1}{3}),(2,1) \}\]

ข้อ 3(A) จากโจทย์จะได้ว่า
\[ \Pi_{i=1}^{29}(\sqrt{3}+\tan i^{\circ}) =\Pi_{i=1}^{29}\frac{\sin 60^{\circ} \cos i^{\circ} +\cos 60^{\circ}\sin i^{\circ}}{\cos 60^{\circ} \cos i^{\circ}} = \frac{1}{\cos^{29} 60^{\circ}}\Pi_{i=1}^{29}\frac{\cos (30-i)^{\circ}}{\cos i^{\circ}} = 2^{29}\]
edit แล้วครับ มึนๆเล็กน้อยครับ อิอิ

7. ให้ $x=\sqrt[6]{a}$ อสมการที่ต้องการพิสูจน์กลายเป็น $0 \leq x^6 -x^3-x^2-x+2,\; \; \forall x\geq 0$
ให้ $f(x)=x^6 -x^3-x^2-x+2$ เราจะแสดงว่า $f(x) \geq 0$ สำหรับทุกค่า $x\geq 0$ ก็เพียงพอแล้ว
เนื่องจาก $f'(x)= (x-1)(6x^4+6x^3+6x^2+3x+1) = 0 \Rightarrow x=1$ และ $f''(1) >0$
ดังนั้น $x=0$ เป็นจุดต่ำสุดบนช่วง $[0,\infty)$ จึงได้ว่า $f(x) \geq 0 $ สำหรับทุกค่า $x \geq 0$
จึงได้อสมการตามที่โจทย์ต้องการ

ข้อ 14. ให้ $u=a-b, \; v=b-c, \; w= c-a$ จะได้ว่า $u+v+w =0 $
\[ \begin{array}{ccl} \det (A) &= & \left\vert \begin{array}{ccc} u &v &w \\ v&w&u \\ w &u &v \end{array} \right\vert \\
&=& \left\vert \begin{array}{ccc} u &v &w \\ u+v &v+w &w+u \\ w &u &v \end{array}\right\vert \; \; (R_1+R_2\rightarrow R_2)\\
&=& \left\vert \begin{array}{ccc} u &v &w \\ -w &-u &-v \\ w &u &v \end{array} \right\vert \\
&=& 0
\end{array} \]
ดังนั้นตอบ $\det (A)=0$

[Mastermander]

5. จะแสดงว่า $$\prod_{n=2}^\infty(1-\frac1{n^2})=\frac12 $$
$$\prod_{n=2}^N(\frac{n-1}{n})\prod_{n=2}^N(\frac{n+1}{n})$$
\[
\left( {\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot ... \cdot \frac{{N + 1}}{N}} \right)\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot ... \cdot \frac{{N - 1}}{N}} \right) = \frac{{N + 1}}{{2N}}
\]
\[
\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{{N + 1}}{{2N}} = \frac{1}{2}
\]
เพราะว่าทุกตัวคูณที่มีค่าน้อยกว่าหนึ่ง เมื่อเราคูณเข้าไปกับจำนวนจริงบวกใดๆแล้วทำให้จำนวนนั้นมีค่าน้อยกว่าเดิม (ดังนั้นเราหารออกจึงมีค่ามากกว่าเดิม)
ดังนั้นถ้าเราเลือกมาเพียง 2006 ตัว ค่าที่ได้จึงมากกว่า $\frac12$

[prachya]

แอบแป๊ก...

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:

3 (A) Calculate $$ \prod_{i=1}^{29} (\sqrt{3}+\tan i^{\circ}) $$

$$(\sqrt{3}+\tan 1^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 2^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 3^{\circ})....(\sqrt{3}+\tan 29^{\circ}) $$

$$(\sqrt{3}+\tan 1^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 29^{\circ}) = 3 + \sqrt{3}(\tan 1^{\circ}+
\tan 29^{\circ})+\tan 1^{\circ}\tan 29^{\circ} $$

$$ \tan (1+29)^{\circ} = \frac{\tan 1^{\circ}+\tan 29^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 29^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{ 3}} --> \sqrt{3}(\tan 1^{\circ}+
\tan 29^{\circ}) = 1-\tan 1^{\circ}\tan 29^{\circ}$$

ดังนั้น $$(\sqrt{3}+\tan 1^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 29^{\circ}) = 4$$

เมื่อจับคู่ 1~29 , 2~28 , .... , 14~16 ซึ่งจะได้ทั้งหมด 14 คู่ แล้วเหลือ 15 ที่ไม่มีคู่
แต่ $$ \sqrt{3} +\tan 15^{\circ} = \sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) = 2 $$
ดังนั้น $$ \prod_{i=1}^{29} (\sqrt{3}+\tan i^{\circ}) = 4^{14}*2 = 2^{29} $$

[M@gpie]

งง คำว่ามิติน่ะครับพี่ passer-by

ขอเติมแนวคิดละกันนะครับ ต้องไปนอนแล้ว พรุ่งนี้สอบ (ยังจะมาเล่นอีกแน่ะ )

ข้อ 6. ทำตามขั้นตอนดังนี้
1. แทน $x=1, y=1$ จะสามารถหา $f(2)$ ได้
2. แทน $x=2, y=2$ จะสามารถหา $f(4)$ ได้
3. แทน $x=4, y=4$ จะสามารถหา $f(8)$ ได้
4. แทน $x=8, y=8$ จะสามารถหา $f(16)$ ได้
5. แทน $x=4, y=16$ จะสามารถหา $f(20)$ ได้ คือคำตอบ
คิดว่ามีวิธีที่ถึกน้อยกว่านี้ครับ ไว้จะมาคิดดู