มีข้อสงสัยครับ เรื่องสมการที่มีกรณฑ์ครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

คือผมเห็นโจทย์ในหนังสืออ่ะครับเขาถามว่า $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x-1}=1 $
วิธีทำ สมมุติให้ $A=\sqrt{x}$
และ $B=\sqrt[3]{x-1}$
จากโจทย์ได้ $A+B=1$_____________(1)

$(\sqrt{x})^2-(\sqrt[3]{x-1})^3=x-(x-1)=1$
แสดงว่า $A^2-B^3=1$____________(2)
จาก (1) จะได้ $A=1-B$ และนำไปแทนใน (2)
จะได้ $(1-B)^2-B^3=1$
$1-2B+B^2-B^3=1$
$B^3-B^2+2B=0$
$B^2-B+2=0$
ข้อสังเกต $B^2-B+2=B^2-2(\frac{1}{2})B+(\frac{1}{2}^2)+\frac{7}{4}$
= $(B-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}$

ทำให้ทราบว่า $B^2-B+2>0$ แน่ๆ
แสดงว่า $B=0$ เท่านั้น
เนื่องจาก $B=\sqrt[3]{x-1} $จะได้ $\sqrt[3]{x-1}=0$
$x-1=0$
$x=1$
ได้คำตอบของสมการคือ 1
________________________________________________________________________

คือผมอยากถามว่า
การที่เขาสรุปว่า $A^2-B^3=1$ โดยดูจากสมการของโจทย์แล้วใช้วิธีถอดกรณฑ์อ่ะครับ แต่มันมีทั้งรากที่ 2 กับรากที่ 3 อ่ะครับ จะใช้วิธีอย่างไรครับ คือเขาจับสมการมายกกำลังตรงกับรากเลยอ่ะครับ
$(\sqrt{x})^2-(\sqrt[3]{x-1})^3=x-(x-1)=1$
สมการนี้อ่ะครับ มันไม่เหมือนการแก้สมการเลยมันมีเทคนิคอะไรหรือเปล่าครับ?

ตรงที่ $B^2-B+2>0$ แน่ๆ อันนี้ผมเข้าใจครับ แต่ไอ้ที่สรุปว่า B=0 เท่านั้นหนิ ทำไมหรอครับ?

ครับ ช่วยอธิบายหน่อยนะครับ หรือจะช่วยแสดงวิธีทำแบบอื่นๆเลยก็ได้นะครับ

[t.B.]

เรื่องที่ยกกำลังในรากนั้น ไม่ได้ยกกำลังในสมการ แต่ว่ามันมาจากการสังเกตครับ
ยกตัวอย่าง เช่น $(x-1)^2+5x=2$
ผมก็สมมติมั้งให้ $a=x-1, b=5x $
สังเกต ว่า $5a-b=-5$
ดังนั้นเราจะได้สมการ $5a-b=-5$ อีกสมการหนึ่ง กับสมการโจทย์คือ $a^2+b=2$ ก็อีกสมการหนึ่ง
ส่วนอีกคำถามให้ดูบรรทัดที่คุณ RETRORIAN_MATH_PHYSICS พิมพ์ว่า

$B^3−B^2+2B=0 $
$B^2−B+2=0 $

จริงๆมันต้องเป็นแบบนี้ครับ

$B^3−B^2+2B=0$
$B(B^2-B+2)=0$

เนื่องจาก วงเล็บฝั่งขวามันมากกว่า 0 ไปแล้ว พจน์ $B(B^2-B+2)=0$ จะเท่ากับ 0 ได้กรณีเดียวคือ B=0 ครับ

ปล.อ่านมาจากหนังสืออะไรหรอครับ คุ้นๆว่าเห็นคำถามแบบนี้หลายรอบแล้ว(หรือรู้สึกไปเอง) ท่าทางหนังสือนั้นจะฮิตน่าดู

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ครับ ขอบคุณมากๆครับ บรรทัดที่สำคัญนั้นผมพิมพ์ตกไปครับ ขอบคุณมากๆครับ ลัดไปนิดเดียวเป็นเรื่องเลยนะเนี่ย

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RETRORIAN_MATH_PHYSICS

คือผมเห็นโจทย์ในหนังสืออ่ะครับเขาถามว่า $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x-1}=1 $

วิธีทำ

ให้ \[
\sqrt[3]{{x - 1}} = y
\]
จะได้ \[
y^3 + 1 = x
\]
แทนค่าลงในโจทย์จะได้ \[
\sqrt {y^3 + 1} + y = 1
\]
\[
y^3 + 1 = \left( {1 - y} \right)^2 = y^2 - 2y + 1
\]
\[
y^3 - y^2 + 2y = y\left( {y^2 - y + 2} \right) = 0
\]
คิดในระบบจำนวนจริงจะได้ว่า\[
y^2 - y + 2 = \left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{7}{4} > 0
\]
ดังนั้น \[
y = 0
\]
\[
\sqrt[3]{{x - 1}} = 0
\]
จะได้ \[
x = 1
\]
ดังนั้นเซตคำตอบของสมการคือ \[
\left\{ 1 \right\}
\]