พิสูจน์ analysis ให้หน่อยค่ะ

[เด้กเลข]

จงพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนตรรกยะใด ที่ทำให้ x^2=3 และจงพิสูจน์ว่า กรณีทั่วไป ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแล้วจะไม่มีจำนวนตรกกยะ x จำนวนใดเลย ที่ทำให้ x^2=p

เข้าใจว่า p เป็นเลขคี่นอกจาก2 แต่ไม่รู้จะเริ่มยังไงอ่ะค่ะ

[Onasdi]

ลองเริ่มจากสมมติขัดแย้ง ก็คือสมมติว่า มีจำนวนตรรกยะที่ทำให้ $x^2=3$
$x$ เป็นจำนวนตรรกยะ นั่นก็คือสามารถเขียน $x=\frac{a}{b}$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มและห.ร.ม.ของ $a,b$ เป็น 1
ลองทำต่อให้เกิดข้อขัดแย้งดูครับ

[nooonuii]

ให้ $n$ เป็นจำนวนนับที่มีสมบัติว่า มีตัวประกอบเฉพาะ $p|n$ ซึ่ง $p^2\not |n$

แล้วจะได้ว่า ไม่มีจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องสมการ $x^2=n$

พิสูจน์ สมมติว่ามี $x=\dfrac{r}{s}$ โดยที่ $(r,s)=1$

ซึ่งทำให้ $\Big(\dfrac{r}{s}\Big)^2=n$

จึงได้สมการ $r^2=ns^2$

เนื่องจาก $p| n$ เราจะได้ว่า $p|r^2$

แต่จากสมบัติของจำนวนเฉพาะ เราจะต้องได้ว่า $p|r$

นั่นคือ $r=pt$ สำหรับบาง $t$

แทนค่ากลับไปในสมการจะได้ $p^2t^2=ns^2$

$pt^2=\dfrac{n}{p}s^2$

เนื่องจาก $p^2\not | n$ เราจะต้องได้ว่า

$p|s^2$ จึงได้อีกว่า $p|s$

คราวนี้เกิดปัญหาเพราะว่า $(r,s)\geq p>1$ ซึ่งขัดแย้ง

[เด้กเลข]

ขอบคุณค่ะ จะลองไปฝึกทำดู