โจทย์รากสมการครับ

[polsk133]

จงหาค่า p ที่ทำให้สมการ

$5x^3-5(p-1)x^2+(71p-1)x-(66p-1)=0$

มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกสามราก

[Real Matrik]

big hint

ให้ $a\leq b\leq c$ เป็นรากของสมการจะได้ว่า
$$\frac{ab+bc+ca}{abc}=1/a+1/b+1/c \leq 3/a$$

[polsk133]

ผมก็ยังมองไม่ออกอะครับ

รู้แค่x-1 หารลงตัว

[Pain 7th]

$a+b+c = p-1 $------------------(1)

$ab+bc+ca = \dfrac{71p-1}{5}$--------------(2)

$abc = \dfrac{66p-1}{5}$--------------(3)

$1-(1)+(2)-(3); (1-a)(1-b)(1-c) = 1$

[Real Matrik]

solution ของผมนะครับ
$$\frac{3}{a}\geq \frac{ab+bc+ca}{bc}=\frac{71p-1}{61p-1}=1+\frac{10p}{61p-1}>1$$
$$a<3 \rightarrow a=1,2$$

สังเกตว่า $a,b,c\in N$ เราจะได้ $p-1=a+b+c$ หรือ $p\leq4$ ซึ่งในที่นี้ผมสนใจแค่ $p>0$ ครับ

ปล. solution คุณ Pain 7 th สวยๆทั้งนั้นเลยครับ